Номер 188, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

188*. Точки $X$ и $A$ — соответственно середины рёбер $MN$ и $MP$ правильной треугольной пирамиды $PMNK$, а треугольники $ARK$ и $PXY$ — параллельные сечения, проходящие через прямые $KA$ и $PX$ соответственно (рис. 207). Найдите площадь треугольника $PXY$, учитывая, что площадь треугольника $ARK$ равна $S$.

Рис. 207

Для решения задачи воспользуемся методом параллельных сечений. Свойство параллельных сечений утверждает, что площадь сечения многогранника плоскостью является квадратичной функцией от расстояния до этой плоскости, измеренного вдоль некоторого фиксированного направления (например, вдоль нормали к плоскостям сечений).

Пусть $h$ — расстояние, отсчитываемое вдоль нормали к данным параллельным сечениям. Тогда площадь сечения $S(h)$ можно выразить как $S(h) = ah^2 + bh + c$, где $a, b, c$ — некоторые коэффициенты.

Площадь сечения обращается в ноль, когда секущая плоскость касается многогранника. Для выпуклого многогранника, такого как пирамида, касание происходит в одной из вершин. Пусть $h_V$ — координата вершины $V$ вдоль направления $h$. Тогда существуют две вершины $V_1$ и $V_2$, в которых достигаются минимальное и максимальное значения координаты $h$. Плоскости, проходящие через эти вершины и параллельные нашим сечениям, будут касательными к пирамиде. Их сечения имеют нулевую площадь. Это означает, что $h_{V_1}$ и $h_{V_2}$ являются корнями квадратного уравнения $S(h)=0$. Следовательно, формулу для площади сечения можно записать в виде:

$S(h) = C(h - h_{V_1})(h - h_{V_2})$

где $C$ — некоторая константа, а $h_{V_1}$ и $h_{V_2}$ — координаты вершин, в которых достигается экстремум вдоль направления $h$.

Плоскость сечения $PXY$ проходит через точки $P$, $X$ и $Y$. Все точки, лежащие в одной плоскости, имеют одинаковую координату $h$. Таким образом, $h_P = h_X = h_Y$.

Плоскость сечения $ARK$ проходит через точки $A$, $R$ и $K$. Следовательно, $h_A = h_R = h_K$.

Из условия задачи нам известны следующие факты:

1. Точка $A$ — середина ребра $MP$. Это означает, что координата точки $A$ равна полусумме координат точек $M$ и $P$: $h_A = \frac{h_M + h_P}{2}$.
2. Точка $X$ — середина ребра $MN$. Аналогично, $h_X = \frac{h_M + h_N}{2}$.

Теперь объединим эти соотношения:

Из $h_A = h_K$ и $h_A = \frac{h_M + h_P}{2}$ следует, что $h_K = \frac{h_M + h_P}{2}$. (1)

Из $h_P = h_X$ и $h_X = \frac{h_M + h_N}{2}$ следует, что $h_P = \frac{h_M + h_N}{2}$. (2)

Выразим координаты всех вершин через две из них, например, через $h_K$ и $h_M$. Для удобства примем $h_K = 0$ и $h_M = 1$.

Из (1): $0 = \frac{1 + h_P}{2} \implies h_P = -1$.

Из (2): $h_P = \frac{h_M + h_N}{2} \implies -1 = \frac{1 + h_N}{2} \implies -2 = 1 + h_N \implies h_N = -3$.

Таким образом, мы получили относительные координаты вершин вдоль направления $h$: $h_K = 0$, $h_M = 1$, $h_P = -1$, $h_N = -3$.

Вершины, в которых достигаются экстремальные значения координаты $h$, — это $M$ ($h_M=1$) и $N$ ($h_N=-3$). Следовательно, $V_1=N$ и $V_2=M$.

Теперь мы можем записать площади сечений, используя эти вершины:

$S(h) = C(h - h_N)(h - h_M)$

Площадь треугольника $PXY$ равна $S(h_P)$:

$S_{PXY} = S(h_P) = C(h_P - h_N)(h_P - h_M) = C(-1 - (-3))(-1 - 1) = C(2)(-2) = -4C$.

Площадь треугольника $ARK$ равна $S(h_K)$ (так как $h_A=h_R=h_K$):

$S_{ARK} = S(h_K) = C(h_K - h_N)(h_K - h_M) = C(0 - (-3))(0 - 1) = C(3)(-1) = -3C$.

По условию, $S_{ARK} = S$. Значит, $S = -3C$.

Найдем отношение площадей:

$\frac{S_{PXY}}{S_{ARK}} = \frac{-4C}{-3C} = \frac{4}{3}$

Отсюда, $S_{PXY} = \frac{4}{3}S_{ARK} = \frac{4}{3}S$.

Ответ: Площадь треугольника PXY равна $\frac{4}{3}S$.