Номер 191, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

191*. Точка $M$ делит боковое ребро $CX$ треугольной пирамиды $CXYZ$ в отношении $2 : 3$, если считать от вершины. Треугольник $MBP$ — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $XYZ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды $CMBP$, учитывая, что площадь боковой поверхности пирамиды $CXYZ$ равна $q$.

Поскольку секущая плоскость $MBP$ параллельна плоскости основания $XYZ$, она отсекает от исходной пирамиды $CXYZ$ меньшую пирамиду $CMBP$, которая подобна исходной. Вершина $C$ у них общая, а основание $MBP$ подобно основанию $XYZ$.

Для нахождения площади боковой поверхности меньшей пирамиды нужно определить коэффициент подобия $k$ между пирамидами $CMBP$ и $CXYZ$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответствующих ребер.

По условию, точка $M$ делит боковое ребро $CX$ в отношении $2:3$, считая от вершины $C$. Это означает, что $CM : MX = 2 : 3$.

Примем длину отрезка $CM$ за $2x$, тогда длина отрезка $MX$ будет $3x$. Вся длина ребра $CX$ составит: $CX = CM + MX = 2x + 3x = 5x$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению ребра меньшей пирамиды к соответствующему ребру большей пирамиды: $k = \frac{CM}{CX} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Это свойство справедливо и для площадей боковых поверхностей подобных пирамид. Обозначим площадь боковой поверхности пирамиды $CXYZ$ как $S_{бок}(CXYZ)$, а пирамиды $CMBP$ — как $S_{бок}(CMBP)$.

Тогда их отношение равно: $\frac{S_{бок}(CMBP)}{S_{бок}(CXYZ)} = k^2$.

По условию задачи, площадь боковой поверхности пирамиды $CXYZ$ равна $q$, то есть $S_{бок}(CXYZ) = q$. Подставим известные значения: $S_{бок}(CMBP) = S_{бок}(CXYZ) \cdot k^2 = q \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2$.

Выполним вычисление: $S_{бок}(CMBP) = q \cdot \frac{4}{25} = \frac{4}{25}q$.

Ответ: $\frac{4}{25}q$.