Номер 192, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

192*. Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной пирамиды соответственно равны $m$ и $n$. Через точку, делящую боковое ребро в отношении 1 : 3, если считать от вершины пирамиды, проведено сечение, параллельное боковой грани. Найдите его площадь.

Решение:

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник $ABC$. По условию, сторона основания равна $m$, то есть $AB = BC = CA = m$. Боковое ребро равно $n$, то есть $SA = SB = SC = n$. Боковые грани $SAB$, $SBC$, $SAC$ являются равными равнобедренными треугольниками со сторонами $n$, $n$ и $m$.

На одном из боковых ребер, например $SA$, выбрана точка $K$, которая делит его в отношении $1:3$, считая от вершины $S$. Это означает, что $SK : KA = 1 : 3$. Длина всего ребра $SA$ равна $n$, следовательно, длина отрезка $KA$ составляет $\frac{3}{1+3}$ длины всего ребра:$KA = \frac{3}{4}SA = \frac{3}{4}n$.

Через точку $K$ проведена плоскость сечения, параллельная одной из боковых граней, например, грани $SBC$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Чтобы построить сечение, найдем линии пересечения плоскости $\alpha$ с гранями пирамиды.

1. Пересечение с гранью $SAB$. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(SBC)$. По свойству параллельных плоскостей, их линии пересечения с третьей плоскостью $(SAB)$ параллельны. Линия пересечения $(SBC)$ и $(SAB)$ — это ребро $SB$. Значит, линия пересечения $\alpha$ и $(SAB)$ проходит через точку $K$ параллельно $SB$. Пусть эта линия пересекает ребро основания $AB$ в точке $L$. Таким образом, $KL \parallel SB$.

2. Пересечение с гранью $SAC$. Аналогично, линия пересечения $\alpha$ и $(SAC)$ проходит через точку $K$ параллельно ребру $SC$ (линии пересечения $(SBC)$ и $(SAC)$). Пусть эта линия пересекает ребро основания $AC$ в точке $M$. Таким образом, $KM \parallel SC$.

3. Пересечение с основанием $ABC$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$ — это прямая $LM$. Поскольку $\alpha \parallel (SBC)$, то $LM \parallel BC$.

В результате сечением является треугольник $KLM$. Найдем длины его сторон.

Рассмотрим грань $SAB$. В треугольнике $ASB$ отрезок $KL$ параллелен стороне $SB$. Следовательно, треугольник $AKL$ подобен треугольнику $ASB$. Коэффициент подобия равен:$k = \frac{AK}{AS} = \frac{\frac{3}{4}n}{n} = \frac{3}{4}$. Из подобия следует, что $KL = k \cdot SB = \frac{3}{4}n$ и $AL = k \cdot AB = \frac{3}{4}m$.

Рассмотрим грань $SAC$. Аналогично, из $KM \parallel SC$ следует подобие треугольников $AKM$ и $ASC$ с тем же коэффициентом $k = \frac{AK}{AS} = \frac{3}{4}$. Отсюда $KM = k \cdot SC = \frac{3}{4}n$.

Сторона сечения $LM$ лежит в плоскости основания. Так как $LM \parallel BC$ и $\frac{AL}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{3}{4}$, то по теореме о пропорциональных отрезках $LM = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4}m$.

Итак, сечение — это равнобедренный треугольник $KLM$ со сторонами $KL=KM=\frac{3n}{4}$ и основанием $LM=\frac{3m}{4}$.

Для нахождения площади треугольника $KLM$ проведем в нем высоту $KH$ к основанию $LM$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $LH = \frac{1}{2}LM = \frac{1}{2} \cdot \frac{3m}{4} = \frac{3m}{8}$. Из прямоугольного треугольника $KLH$ по теореме Пифагора находим высоту $KH$:$KH^2 = KL^2 - LH^2 = \left(\frac{3n}{4}\right)^2 - \left(\frac{3m}{8}\right)^2 = \frac{9n^2}{16} - \frac{9m^2}{64} = \frac{36n^2 - 9m^2}{64} = \frac{9(4n^2 - m^2)}{64}$.$KH = \sqrt{\frac{9(4n^2 - m^2)}{64}} = \frac{3}{8}\sqrt{4n^2 - m^2}$.

Площадь треугольника $KLM$ вычисляется по формуле:$S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot LM \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot \frac{3m}{4} \cdot \frac{3}{8}\sqrt{4n^2 - m^2} = \frac{9m}{64}\sqrt{4n^2 - m^2}$.

Ответ: $\frac{9m}{64}\sqrt{4n^2 - m^2}$.