Номер 186, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

186. Все рёбра прямой призмы $BDFB_1D_1F_1$ равны друг другу. Найдите площадь боковой поверхности призмы, учитывая, что площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины $B$, $D$ и середину ребра $FF_1$, равна $S$.

Пусть длина ребра прямой призмы $BDFB_1D_1F_1$ равна $a$. По условию, все ребра призмы равны друг другу. Это означает, что в основании призмы лежит равносторонний треугольник $BDF$ со стороной $a$, а высота призмы (длина боковых ребер $BB_1$, $DD_1$, $FF_1$) также равна $a$. Боковые грани призмы являются тремя одинаковыми квадратами со стороной $a$.

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$, равна сумме площадей трех боковых граней. Поскольку каждая грань — это квадрат с площадью $a^2$, то: $S_{бок} = 3a^2$.

Для того чтобы найти $S_{бок}$, нам необходимо выразить $a^2$ через данную в условии площадь сечения $S$.

Сечение призмы проходит через вершины $B$, $D$ и середину ребра $FF_1$. Обозначим середину ребра $FF_1$ точкой $M$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $BDM$. Найдем его площадь, выразив длины его сторон через $a$.

• Сторона $BD$ является стороной основания, следовательно, ее длина равна $BD = a$.
• Для нахождения длины стороны $BM$ воспользуемся теоремой Пифагора. Так как призма прямая, боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $BDF$. Это означает, что $FF_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $F$. В частности, $FF_1 \perp BF$. Отрезок $MF$ является частью прямой $FF_1$, поэтому $MF \perp BF$. Следовательно, треугольник $BFM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$. Катеты этого треугольника: $BF = a$ (ребро основания) и $MF = \frac{1}{2}FF_1 = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $BM^2 = BF^2 + MF^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$. Отсюда $BM = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
• Аналогично, для нахождения длины стороны $DM$ рассмотрим прямоугольный треугольник $DFM$ (прямой угол при вершине $F$). Катеты: $DF = a$ и $MF = \frac{a}{2}$. $DM^2 = DF^2 + MF^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5a^2}{4}$. Отсюда $DM = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, сечение $BDM$ — это равнобедренный треугольник с основанием $BD = a$ и равными боковыми сторонами $BM = DM = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Найдем площадь этого треугольника. Проведем высоту $MK$ из вершины $M$ к основанию $BD$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $K$ — середина отрезка $BD$, и $BK = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKB$. По теореме Пифагора, $MK^2 = BM^2 - BK^2$. $MK^2 = \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2}{4} = a^2$. Следовательно, высота треугольника $MK = a$.

Площадь сечения $S$ равна площади треугольника $BDM$: $S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

Из этого равенства выразим $a^2$ через $S$: $a^2 = 2S$.

Теперь подставим полученное выражение для $a^2$ в формулу для площади боковой поверхности призмы: $S_{бок} = 3a^2 = 3(2S) = 6S$.

Ответ: $6S$