Номер 184, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

184. В прямоугольном параллелепипеде $CDEF C_1 D_1 E_1 F_1$ основание $CDEF$ — квадрат. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра $CC_1$ и параллельной плоскости $CFE_1$. Найдите периметр сечения, учитывая, что измерения параллелепипеда равны 10, 10 и 24 см.

В задаче дан прямоугольный параллелепипед CDEFC₁D₁E₁F₁, у которого основание CDEF является квадратом. Измерения параллелепипеда равны 10, 10 и 24 см. Это означает, что стороны квадрата в основании равны 10 см, а высота параллелепипеда — 24 см.

Пусть стороны основания $CD = CF = 10$ см, а боковое ребро (высота) $CC_1 = 24$ см.

Построение сечения

Требуется построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через середину ребра $CC_1$ и параллельна плоскости $(CFE_1)$.

1. Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$, а заданную плоскость как $\beta = (CFE_1)$. Обозначим середину ребра $CC_1$ точкой $M$. Так как $CC_1 = 24$ см, то $CM = MC_1 = 12$ см.

2. Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

3. Определим, какие еще вершины параллелепипеда лежат в плоскости $\beta = (CFE_1)$. Для этого введем систему координат с началом в точке $C(0, 0, 0)$. Тогда вершины имеют координаты: $C(0,0,0)$, $D(10,0,0)$, $F(0,10,0)$, $E_1(10,10,24)$. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно найти с помощью определителя или векторов. Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\beta$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{CF}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{CF} = (0, 10, 0)$
$\vec{CE_1} = (10, 10, 24)$
$\vec{n} = \vec{CF} \times \vec{CE_1} = (10 \cdot 24 - 0 \cdot 10, 0 \cdot 10 - 0 \cdot 24, 0 \cdot 10 - 10 \cdot 10) = (240, 0, -100)$.
Уравнение плоскости $\beta$ имеет вид $240x - 100z = 0$, или $12x - 5z = 0$.
Проверим, принадлежит ли точка $D_1(10,0,24)$ этой плоскости: $12 \cdot 10 - 5 \cdot 24 = 120 - 120 = 0$. Точка $D_1$ принадлежит плоскости $\beta$. Таким образом, заданная плоскость — это $(CFE_1D_1)$, а ее пересечение с параллелепипедом — это прямоугольник $CFE_1D_1$.

4. Теперь строим сечение плоскостью $\alpha$, которая параллельна $(CFE_1D_1)$ и проходит через точку $M$ (середину $CC_1$).

• Пересечение с гранью $CFF_1C_1$. Эта грань содержит линию $CF$, принадлежащую плоскости $\beta$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ в этой же грани. Значит, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $CFF_1C_1$ должна быть параллельна $CF$. Проведем через точку $M$ отрезок $MK$ параллельно $CF$, где точка $K$ лежит на ребре $FF_1$. Так как $M$ — середина $CC_1$, то $K$ — середина $FF_1$.
• Пересечение с гранью $CDD_1C_1$. Эта грань содержит диагональ $CD_1$, принадлежащую плоскости $\beta$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ в этой же грани. Линия пересечения должна быть параллельна $CD_1$. Проведем через $M$ отрезок $MP$ параллельно $CD_1$, где $P$ лежит на ребре $C_1D_1$. Так как $M$ — середина $CC_1$, из подобия треугольников $MCC_1$ и $P D_1 C_1$ (или по теореме Фалеса для угла $D_1CC_1$) следует, что $P$ — середина ребра $C_1D_1$.
• Пересечение с верхней гранью $C_1D_1E_1F_1$. Эта грань содержит ребро $D_1E_1$, принадлежащее плоскости $\beta$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $P$ в этой же грани. Линия пересечения должна быть параллельна $D_1E_1$. Проведем через $P$ отрезок $PQ$ параллельно $D_1E_1$, где $Q$ лежит на ребре $F_1E_1$. Так как $P$ — середина $C_1D_1$, то $Q$ — середина $F_1E_1$.

5. Соединив точки $M, K, Q, P$, получаем искомое сечение. Это четырехугольник $MKQP$, вершины которого являются серединами ребер $CC_1$, $FF_1$, $E_1F_1$ и $C_1D_1$.

Поскольку $MK \parallel CF$ и $PQ \parallel D_1E_1$, а $CF \parallel D_1E_1$, то $MK \parallel PQ$. Аналогично, $MP \parallel CD_1$ и $KQ \parallel FE_1$, а $CD_1 \parallel FE_1$, значит $MP \parallel KQ$. Следовательно, сечение $MKQP$ — это параллелограмм.

Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $MKQP$, вершины которого — середины ребер $CC_1, FF_1, F_1E_1, C_1D_1$.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма $MKQP$ равен $P_{MKQP} = 2 \cdot (|MK| + |MP|)$. Найдем длины сторон.

1. Найдем длину стороны $MK$. Отрезок $MK$ лежит в грани $CFF_1C_1$ и параллелен ребру $CF$. Так как $M$ и $K$ — середины боковых ребер, длина $MK$ равна длине ребра $CF$.
$|MK| = |CF| = 10$ см.

2. Найдем длину стороны $MP$. Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Точка $M$ — середина $CC_1$, точка $P$ — середина $C_1D_1$. Введем систему координат с началом в точке $C(0,0,0)$, как и ранее.

• Координаты точки $M$ (середина $CC_1$): $M(0, 0, 12)$.
• Координаты точек $C_1(0, 0, 24)$ и $D_1(10, 0, 24)$.
• Координаты точки $P$ (середина $C_1D_1$): $P(\frac{0+10}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{24+24}{2}) = P(5, 0, 24)$.

Теперь найдем расстояние между точками $M$ и $P$ по формуле расстояния в пространстве: $|MP| = \sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2 + (z_P - z_M)^2}$ $|MP| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Вычислим периметр. $P_{MKQP} = 2 \cdot (|MK| + |MP|) = 2 \cdot (10 + 13) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Ответ: Периметр сечения равен 46 см.