Номер 189, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

189*. Боковое ребро четырёхугольной пирамиды разделено на три доли, и через точки деления проведены плоскости, параллельные плоскости основания. Найдите площади полученных сечений, учитывая, что площадь основания равна $S$.

Пусть дана четырехугольная пирамида с вершиной в точке $P$ и основанием, площадь которого равна $S$. Боковое ребро пирамиды, например $PA$, разделено на три равные доли. Обозначим точки деления $M_1$ и $M_2$, начиная от вершины $P$. Таким образом, мы имеем $PM_1 = \frac{1}{3}PA$ и $PM_2 = \frac{2}{3}PA$.

Через точки $M_1$ и $M_2$ проведены плоскости, параллельные плоскости основания. Эти плоскости образуют два сечения. Каждое сечение является многоугольником, подобным основанию пирамиды. Пирамида, отсекаемая плоскостью сечения, подобна исходной пирамиде.

Согласно теореме об отношении площадей подобных фигур, отношение площади сечения к площади основания равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров, например, высот или боковых ребер отсеченной и исходной пирамид.

Площадь первого сечения

Первое сечение (ближайшее к вершине) проходит через точку $M_1$. Оно отсекает малую пирамиду, боковое ребро которой равно $PM_1$. Коэффициент подобия $k_1$ этой малой пирамиды и исходной пирамиды равен: $k_1 = \frac{PM_1}{PA} = \frac{\frac{1}{3}PA}{PA} = \frac{1}{3}$

Пусть $S_1$ — площадь этого сечения. Тогда отношение $S_1$ к площади основания $S$ равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S} = k_1^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда находим площадь первого сечения: $S_1 = \frac{1}{9}S$

Ответ: $\frac{1}{9}S$.

Площадь второго сечения

Второе сечение проходит через точку $M_2$. Оно отсекает пирамиду, боковое ребро которой равно $PM_2$. Коэффициент подобия $k_2$ этой пирамиды и исходной пирамиды равен: $k_2 = \frac{PM_2}{PA} = \frac{\frac{2}{3}PA}{PA} = \frac{2}{3}$

Пусть $S_2$ — площадь второго сечения. Тогда отношение $S_2$ к площади основания $S$ равно: $\frac{S_2}{S} = k_2^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Отсюда находим площадь второго сечения: $S_2 = \frac{4}{9}S$

Ответ: $\frac{4}{9}S$.