Номер 198, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

198. Докажите, что если стороны $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ пересекают плоскость, то прямые $AD$ и $DC$ также пересекают эту плоскость.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость. По условию, $ABCD$ — параллелограмм, и его стороны $AB$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$. Это означает, что прямые, на которых лежат эти стороны, пересекают плоскость $\alpha$. Требуется доказать, что прямые $AD$ и $DC$ также пересекают плоскость $\alpha$.

Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость (или лежит в этой плоскости, что также является видом пересечения, так как есть общие точки).

Доказательство для прямой AD:

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $AD$ параллельна стороне $BC$, то есть $AD \parallel BC$.

По условию задачи, сторона $BC$ пересекает плоскость $\alpha$. Значит, прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$.

Так как прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ и прямая $AD$ параллельна прямой $BC$, то согласно указанной выше теореме, прямая $AD$ также пересекает плоскость $\alpha$.

Доказательство для прямой DC:

Аналогично, по определению параллелограмма, сторона $DC$ параллельна стороне $AB$, то есть $DC \parallel AB$.

По условию задачи, сторона $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Значит, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$.

Так как прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ и прямая $DC$ параллельна прямой $AB$, то согласно той же теореме, прямая $DC$ также пересекает плоскость $\alpha$.

Таким образом, доказано, что если стороны $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ пересекают плоскость, то и прямые $AD$ и $DC$ также пересекают эту плоскость. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.