Номер 201, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

201. Нарисуйте параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, постройте его сечения плоскостями $ABC_1$ и $DCB_1$, а также общий отрезок этих сечений.

Для решения задачи сначала необходимо нарисовать параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В стандартном изображении $ABCD$ — это нижнее основание, $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание, а отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ — параллельные и равные боковые ребра.

Далее построим сечения и их общий отрезок.

Построение сечения плоскостью $ABC_1$

Секущая плоскость определяется тремя точками $A$, $B$ и $C_1$, не лежащими на одной прямой. Для построения многоугольника, являющегося сечением, выполним следующие шаги:

1. Соединяем точки $A$ и $B$. Так как они являются вершинами одного ребра, отрезок $AB$ принадлежит сечению и лежит в плоскости нижнего основания.
2. Соединяем точки $B$ и $C_1$. Эти точки лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Отрезок $BC_1$ является диагональю этой грани и также принадлежит сечению.
3. Для завершения построения сечения воспользуемся свойством параллельности. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.
   • Плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Плоскость сечения пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $BC_1$. Следовательно, через точку $A$, лежащую в грани $ADD_1A_1$, нужно провести прямую, параллельную $BC_1$. В параллелепипеде такой прямой будет диагональ $AD_1$ грани $ADD_1A_1$, так как векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ равны. Таким образом, точка $D_1$ также принадлежит сечению.
   • Плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой $AB$. Следовательно, через точку $C_1$, лежащую в верхнем основании, нужно провести прямую, параллельную $AB$. Этой прямой является ребро $C_1D_1$.
4. Последовательно соединяя точки $A$, $B$, $C_1$ и $D_1$, получаем четырехугольник $ABC_1D_1$. Так как его противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel D_1C_1$ и $AD_1 \parallel BC_1$), этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Сечением является параллелограмм $ABC_1D_1$.

Построение сечения плоскостью $DCB_1$

Секущая плоскость задана тремя точками $D$, $C$ и $B_1$. Построение аналогично предыдущему пункту:

1. Соединяем точки $D$ и $C$. Отрезок $DC$ является ребром параллелепипеда и принадлежит сечению.
2. Снова используем свойство параллельности.
   • Плоскости граней $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$ параллельны. Плоскость сечения проходит через прямую $DC$ в грани $DCC_1D_1$. Следовательно, она пересекает параллельную грань $ABB_1A_1$ по прямой, проходящей через точку $B_1$ и параллельной $DC$. Это ребро $B_1A_1$. Таким образом, точка $A_1$ также принадлежит сечению.
   • Соединяем точки $A_1$ и $D$. Отрезок $A_1D$ является диагональю грани $ADD_1A_1$ и принадлежит сечению.
   • Соединяем точки $B_1$ и $C$. Отрезок $B_1C$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и принадлежит сечению.
3. Соединив последовательно точки $D$, $C$, $B_1$ и $A_1$, получаем четырехугольник $DCA_1B_1$. Этот четырехугольник также является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны ($DC \parallel A_1B_1$ и $DA_1 \parallel CB_1$).

Ответ: Сечением является параллелограмм $DCA_1B_1$.

Построение общего отрезка этих сечений

Общий отрезок сечений $ABC_1D_1$ и $DCA_1B_1$ является отрезком прямой, по которой пересекаются плоскости $(ABC_1)$ и $(DCB_1)$. Чтобы найти эту прямую, достаточно найти две ее точки.

1. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. В этой грани лежат диагонали $AD_1$ и $A_1D$. Отрезок $AD_1$ является стороной сечения $ABC_1D_1$. Отрезок $A_1D$ является стороной сечения $DCA_1B_1$. Эти диагонали пересекаются в центре грани $ADD_1A_1$. Обозначим эту точку $K$. Так как точка $K$ принадлежит обеим прямым, она принадлежит и обеим плоскостям сечений.
2. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. В этой грани лежат диагонали $BC_1$ и $B_1C$. Отрезок $BC_1$ является стороной сечения $ABC_1D_1$. Отрезок $B_1C$ является стороной сечения $DCA_1B_1$. Эти диагонали пересекаются в центре грани $BCC_1B_1$. Обозначим эту точку $L$. Так как точка $L$ принадлежит обеим прямым, она также принадлежит и обеим плоскостям сечений.
3. Поскольку точки $K$ и $L$ принадлежат обоим сечениям, то прямая, проходящая через них, является линией пересечения этих сечений. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AD_1$ и $BC_1$ в параллелограмме $ABC_1D_1$, а также середины сторон $A_1D$ и $B_1C$ в параллелограмме $DCA_1B_1$. Следовательно, отрезок $KL$ целиком лежит внутри обоих сечений и является их общим отрезком.

Ответ: Общим отрезком этих сечений является отрезок $KL$, где $K$ — точка пересечения диагоналей грани $ADD_1A_1$ (ее центр), а $L$ — точка пересечения диагоналей грани $BCC_1B_1$ (ее центр).