Номер 204, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

204. Вне плоскости трапеции $ABCD$ с основанием $AD$ выбрана точка $T$.

Докажите, что прямая $AD$ параллельна плоскости $BTC$.

По условию задачи, $ABCD$ — трапеция с основанием $AD$. Согласно определению трапеции, её основания параллельны друг другу. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Это можно записать как $AD \parallel BC$.

Рассмотрим плоскость $BTC$. Эта плоскость определена тремя точками $B$, $T$ и $C$. Поскольку точки $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости, то и вся прямая $BC$, проходящая через эти точки, лежит в плоскости $BTC$. Запишем это как $BC \subset (BTC)$.

Для доказательства параллельности прямой и плоскости воспользуемся соответствующим признаком: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Применим этот признак к прямой $AD$ и плоскости $BTC$.

1. Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$), что следует из определения трапеции.

2. Прямая $BC$ лежит в плоскости $BTC$ ($BC \subset (BTC)$), так как точки $B$ и $C$ лежат в этой плоскости.

3. Прямая $AD$ не лежит в плоскости $BTC$. Докажем это от противного. Предположим, что прямая $AD$ лежит в плоскости $BTC$. Тогда все четыре вершины трапеции $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $BTC$. Это означает, что плоскость трапеции $(ABC)$ совпадает с плоскостью $(BTC)$. Но по условию задачи точка $T$ выбрана вне плоскости трапеции $ABCD$, в то время как она по определению принадлежит плоскости $BTC$. Это противоречие. Следовательно, исходное предположение неверно, и прямая $AD$ не лежит в плоскости $BTC$ ($AD \not\subset (BTC)$).

Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены: прямая $AD$ не лежит в плоскости $BTC$ и параллельна прямой $BC$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $AD$ параллельна плоскости $BTC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $AD$ параллельна плоскости $BTC$.