Номер 207, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

207. Дана прямая $a$, параллельная плоскости $\alpha$, и точка $T$, принадлежащая этой плоскости. Докажите, что прямая, которая проходит через точку $T$ и параллельна прямой $a$, лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть нам даны прямая $a$, плоскость $\alpha$ и точка $T$ такие, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$) и точка $T$ принадлежит этой плоскости ($T \in \alpha$). Обозначим через $b$ прямую, которая проходит через точку $T$ и параллельна прямой $a$ ($T \in b$ и $b \parallel a$). Нам необходимо доказать, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны по условию, через них проходит единственная плоскость. Назовем ее $\beta$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, лежат в плоскости $\beta$.

Точка $T$ принадлежит прямой $b$ ($T \in b$) и, следовательно, принадлежит плоскости $\beta$ ($T \in \beta$). По условию, точка $T$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($T \in \alpha$). Это означает, что $T$ — общая точка для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Раз плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$.

Теперь рассмотрим соотношение прямых и плоскостей. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, которая параллельна плоскости $\alpha$. По теореме о линии пересечения плоскостей (если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), то линия их пересечения ($c$) будет параллельна этой прямой ($a$)), мы можем заключить, что $c \parallel a$.

Так как точка $T$ принадлежит обеим плоскостям, она лежит и на их линии пересечения: $T \in c$.

В результате мы получили, что через точку $T$ проходит прямая $c$, параллельная прямой $a$. Однако по условию задачи нам известно, что через точку $T$ проходит прямая $b$, также параллельная прямой $a$.

Согласно следствию из аксиомы о параллельных прямых, через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Из этого следует, что прямые $b$ и $c$ должны совпадать: $b = c$.

Поскольку прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она по определению целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). А так как $b=c$, то и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, это предположение было неверным, а доказываемое утверждение — верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямая, которая проходит через точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, параллельной этой же плоскости, лежит в данной плоскости.