Номер 206, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

206. Плоскость $\alpha$ проходит через середину стороны $AB$ треугольника $ABC$ параллельно стороне $BC$. Докажите, что плоскости $\alpha$ принадлежит середина стороны $AC$.

Дано:
Дан треугольник $ABC$.
Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$, которая является серединой стороны $AB$ ($AM = MB$).
Плоскость $\alpha$ параллельна прямой, содержащей сторону $BC$ ($\alpha \parallel BC$).

Доказать:
Плоскости $\alpha$ принадлежит середина стороны $AC$.

Доказательство:

1. Вершины треугольника $A, B, C$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $(ABC)$.

2. Точка $M$ является серединой стороны $AB$, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $AB$, а значит, и в плоскости $(ABC)$. По условию, точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Так как плоскости $\alpha$ и $(ABC)$ имеют общую точку $M$, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $l$. Таким образом, $l$ — это линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$, и $M \in l$.

3. По условию, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($BC \parallel \alpha$). При этом прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$. Согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей: если прямая (в нашем случае $BC$), не лежащая в данной плоскости ($\alpha$), параллельна ей, то линия пересечения любой плоскости (в нашем случае $(ABC)$), проходящей через эту прямую, с данной плоскостью ($\alpha$) будет параллельна этой прямой. Следовательно, линия пересечения $l$ параллельна прямой $BC$, то есть $l \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим ситуацию в плоскости треугольника $(ABC)$. Прямая $l$ лежит в этой плоскости, проходит через точку $M$ — середину стороны $AB$ — и параллельна стороне $BC$. Прямая $l$ пересекает сторону $AC$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $N$.

5. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника): если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна второй стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. В нашем треугольнике $ABC$ прямая $l$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и параллельна $BC$, следовательно, точка $N$ является серединой стороны $AC$.

6. Так как точка $N$ лежит на прямой $l$, а прямая $l$ по определению является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$ и, следовательно, целиком принадлежит плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$), то точка $N$ также принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, доказано, что середина стороны $AC$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.