Номер 200, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

200. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то линии их пересечения или параллельны, или имеют общую точку.

Пусть даны три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые по условию попарно пересекаются, но не проходят через одну общую прямую.

Обозначим линии их попарного пересечения: $a = \alpha \cap \beta$, $b = \alpha \cap \gamma$ и $c = \beta \cap \gamma$. Так как плоскости не проходят через одну прямую, то прямые $a$, $b$ и $c$ различны.

Рассмотрим прямые $a$ и $b$. Они обе лежат в плоскости $\alpha$, поэтому они могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Проанализируем оба варианта.

Случай 1: прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пусть точка $M$ — точка их пересечения. Тогда $M \in a$ и $M \in b$. Из того, что $M \in a$ и $a \subset \beta$, следует, что $M \in \beta$. Аналогично, из того, что $M \in b$ и $b \subset \gamma$, следует, что $M \in \gamma$. Таким образом, точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\beta$ и $\gamma$, а значит, и линии их пересечения — прямой $c$. Итак, все три прямые $a$, $b$ и $c$ пересекаются в одной точке $M$.

Случай 2: прямые $a$ и $b$ параллельны.

Пусть $a \parallel b$. Докажем, что и прямая $c$ параллельна им. Рассмотрим прямые $a$ и $c$, которые обе лежат в плоскости $\beta$. Допустим, они не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $N$. Тогда $N \in a$ и $N \in c$. Из $N \in a \subset \alpha$ следует, что $N \in \alpha$. Из $N \in c \subset \gamma$ следует, что $N \in \gamma$. Значит, точка $N$ принадлежит линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, то есть прямой $b$. Получается, что точка $N$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$, что противоречит их параллельности. Следовательно, наше допущение неверно, и $a \parallel c$.

Поскольку $a \parallel b$ (по условию случая) и $a \parallel c$ (по доказанному), то по свойству транзитивности параллельности прямых $b \parallel c$. Таким образом, все три прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны.

Мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения прямых $a$ и $b$. В каждом из них утверждение задачи подтвердилось.

Ответ: Доказано, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то линии их пересечения или параллельны, или имеют общую точку.