Номер 205, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

205. Точка $D$ не лежит в плоскости параллелограмма $IJKL$. Докажите, что прямая $KL$ параллельна плоскости $IDJ$.

205. Для доказательства того, что прямая $KL$ параллельна плоскости $IDJ$, воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости. Признак гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Проверим выполнение условий этого признака для прямой $KL$ и плоскости $IDJ$.

1. По условию, четырехугольник $IJKL$ — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая $KL$ параллельна прямой $IJ$. Запишем это в виде соотношения: $KL \parallel IJ$.

2. Плоскость $IDJ$ проходит через точки $I$, $D$ и $J$. Так как точки $I$ и $J$ принадлежат этой плоскости, то и вся прямая $IJ$, проходящая через них, лежит в плоскости $IDJ$. Математически это записывается так: $IJ \subset (IDJ)$.

3. Прямая $KL$ не лежит в плоскости $IDJ$. Это следует из того, что точка $D$ не лежит в плоскости параллелограмма $(IJKL)$, а прямая $KL$ полностью принадлежит плоскости $(IJKL)$. Если бы прямая $KL$ лежала в плоскости $IDJ$, то плоскости $(IDJ)$ и $(IJKL)$ совпадали бы (так как они имели бы общую прямую $IJ$ и еще одну параллельную ей прямую $KL$), что противоречит условию $D \notin (IJKL)$.

Таким образом, мы имеем прямую $KL$, которая не лежит в плоскости $(IDJ)$, но при этом параллельна прямой $IJ$, которая лежит в этой плоскости. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, отсюда следует, что прямая $KL$ параллельна плоскости $IDJ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $KL$ параллельна плоскости $IDJ$, так как $KL \parallel IJ$ и $IJ \subset (IDJ)$.