Номер 208, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

208. Докажите, что если прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$, то она пересекает и любую плоскость, параллельную $\beta$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$. Обозначим точку пересечения $M$. Таким образом, $a \cap \beta = \{M\}$.
Плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\beta$, то есть $\gamma \parallel \beta$.

Доказать:
Прямая $a$ пересекает плоскость $\gamma$.

Доказательство:
Предположим, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\gamma$. Взаимное расположение прямой и плоскости допускает три варианта: они пересекаются, прямая параллельна плоскости, или прямая лежит в плоскости. Если прямая не пересекает плоскость $\gamma$, то это означает, что $a$ параллельна $\gamma$ ($a \parallel \gamma$) или $a$ лежит в $\gamma$ ($a \subset \gamma$).

Рассмотрим эти два случая:

1) Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$).
Так как по условию $\gamma \parallel \beta$, то плоскости $\gamma$ и $\beta$ не имеют общих точек (по определению параллельных плоскостей). Следовательно, и прямая $a$, лежащая в $\gamma$, не может иметь общих точек с плоскостью $\beta$. Это противоречит условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$. Значит, этот случай невозможен.

2) Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\gamma$ ($a \parallel \gamma$).
Мы имеем: $a \parallel \gamma$ и $\gamma \parallel \beta$. Существует свойство (лемма о транзитивности параллельности прямой и плоскости): если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она либо параллельна второй плоскости, либо лежит в ней. Таким образом, из наших условий следует, что либо $a \parallel \beta$, либо $a \subset \beta$.

Оба этих варианта противоречат исходному условию задачи. Если $a \parallel \beta$, то у них нет общих точек. Если $a \subset \beta$, то они имеют бесконечно много общих точек (всю прямую). И то, и другое противоречит тому, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$, то есть имеет с ней ровно одну общую точку.

Так как наше предположение (что прямая $a$ не пересекает плоскость $\gamma$) приводит к противоречию, оно является ложным. Следовательно, верно обратное: прямая $a$ пересекает плоскость $\gamma$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.