Номер 5, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Точка $A$ — середина ребра $PY$ треугольной пирамиды $PXYZ$, все рёбра которой равны $12\sqrt{3}$. Постройте точку пересечения с поверхностью пирамиды прямой $b$, которая проходит через точку $A$ и параллельна медиане $YR$ грани $XYZ$. Найдите длину отрезка этой прямой, размещённого внутри пирамиды.

Задача состоит из двух частей: построение точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды и нахождение длины отрезка этой прямой внутри пирамиды. Решим их последовательно.

Построение точек пересечения

Для определения точек пересечения прямой $b$ с поверхностью пирамиды выполним следующие шаги:

1. Пирамида $PXYZ$, у которой все ребра равны, является правильным тетраэдром. Все ее грани ($PXY$, $PYZ$, $PXZ$ и $XYZ$) — равносторонние треугольники со стороной $a = 12\sqrt{3}$.
2. В условии сказано, что прямая $b$ параллельна медиане $YR$ грани $XYZ$. Это означает, что точка $R$ является серединой ребра $XZ$.
3. Рассмотрим плоскость $\pi$, проходящую через точки $P$, $Y$ и $R$. Эта плоскость содержит ребро $PY$ (а значит, и его середину — точку $A$) и медиану $YR$.
4. Прямая $b$ проходит через точку $A$, которая лежит в плоскости $\pi$, и по условию параллельна прямой $YR$, которая также лежит в этой плоскости. Из этого следует, что вся прямая $b$ целиком расположена в плоскости $\pi=(PYR)$.
5. Сечением пирамиды $PXYZ$ плоскостью $\pi$ является треугольник $PYR$. Его стороны $PY$, $YR$ и $PR$ лежат на поверхности пирамиды (ребро $PY$, медиана на грани $XYZ$ и медиана на грани $PXZ$ соответственно).
6. Таким образом, точки пересечения прямой $b$ с поверхностью пирамиды — это точки ее пересечения со сторонами треугольника $PYR$.
7. Первая точка пересечения — это точка $A$ на ребре $PY$, данная в условии.
8. Поскольку прямая $b$ параллельна стороне $YR$, она не может ее пересечь (так как $A$ не лежит на $YR$). Следовательно, вторая точка пересечения, назовем ее $B$, должна лежать на третьей стороне треугольника — отрезке $PR$.
9. В треугольнике $PYR$ прямая $b$ (проходящая через точки $A$ и $B$) проходит через середину стороны $PY$ (точку $A$) и параллельна стороне $YR$. По теореме о средней линии, отрезок $AB$ является средней линией треугольника $PYR$.
10. Из этого следует, что вторая точка пересечения $B$ является серединой стороны $PR$.

Ответ: Искомые точки пересечения — это точка $A$ (середина ребра $PY$) и точка $B$ (середина отрезка $PR$, где $R$ — середина ребра $XZ$).

Нахождение длины отрезка

Отрезок прямой $b$, который размещен внутри пирамиды, — это отрезок $AB$, соединяющий построенные точки пересечения $A$ и $B$.

Как было установлено в ходе построения, $AB$ — это средняя линия треугольника $PYR$, параллельная его стороне $YR$. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна:

$AB = \frac{1}{2}YR$

Найдем длину медианы $YR$ в равностороннем треугольнике $XYZ$. Длина стороны этого треугольника по условию равна $a = 12\sqrt{3}$. Длина медианы (которая также является и высотой) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a$ и вычислим длину $YR$:

$YR = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Теперь можем найти длину искомого отрезка $AB$:

$AB = \frac{1}{2} \cdot YR = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$.

Ответ: 9.