Номер 10, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Точки $X, Y, Z$ — соответственно середины рёбер $OK, MK, MN$ правильной треугольной пирамиды $OMNK$. Площадь сечения плоскостью, проходящей через прямую $MX$ и параллельно прямой $NK$, равна $Q$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через точки $Y$ и $Z$ и параллельна прямой $MX$.

Пусть $O$ - вершина правильной треугольной пирамиды $OMNK$, а $\triangle MNK$ - её основание. По условию, $X$, $Y$, $Z$ - середины рёбер $OK$, $MK$ и $MN$ соответственно.

1. Рассмотрим первое сечение. Оно задано плоскостью $\alpha$, которая проходит через прямую $MX$ и параллельна прямой $NK$. Для построения этой плоскости проведём в плоскости грани $ONK$ через точку $X$ (середину $OK$) прямую, параллельную $NK$. По теореме Фалеса, эта прямая пересечёт ребро $ON$ в его середине, которую мы назовём точкой $P$. Таким образом, секущая плоскость $\alpha$ определяется точками $M, X, P$. Сечением является треугольник $MPX$. Его площадь по условию равна $Q$.

2. Рассмотрим второе сечение. Оно задано плоскостью $\beta$, которая проходит через точки $Y$ и $Z$ и параллельна прямой $MX$. Плоскость $\beta$ содержит отрезок $YZ$. В треугольнике основания $MNK$ отрезок $YZ$ соединяет середины сторон $MK$ и $MN$, поэтому $YZ$ является средней линией $\triangle MNK$. Из этого следует, что $YZ \parallel NK$.

3. Сравним плоскости сечений $\alpha$ и $\beta$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MX$ и прямую $XP$, которая параллельна $NK$. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости, определяемой парой пересекающихся прямых, параллельных $MX$ и $NK$. Плоскость $\beta$ параллельна прямой $MX$ и содержит прямую $YZ$, которая параллельна $NK$. Следовательно, плоскость $\beta$ также параллельна плоскости, определяемой той же парой пересекающихся прямых. Поскольку обе плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны одной и той же плоскости, они параллельны друг другу: $\alpha \parallel \beta$.

4. Площади параллельных сечений пирамиды относятся как квадрат отношения их расстояний от вершины. Обозначим искомую площадь второго сечения как $S_{\beta}$. Тогда: $ \frac{S_{\beta}}{Q} = \left(\frac{d(O, \beta)}{d(O, \alpha)}\right)^2 $ где $d(O, \alpha)$ и $d(O, \beta)$ - расстояния от вершины $O$ до плоскостей $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

5. Чтобы найти отношение расстояний, найдём отношение длин отрезков, которые отсекают плоскости на каком-либо ребре, выходящем из вершины $O$, например, на ребре $ON$. Плоскость $\alpha$ пересекает ребро $ON$ в точке $P$, которая является серединой $ON$. Таким образом, $OP = \frac{1}{2}ON$. Теперь найдём точку $S$ пересечения плоскости $\beta$ с ребром $ON$. Для этого сначала найдем точку $R$ пересечения плоскости $\beta$ с ребром $OK$. Плоскость $\beta$ параллельна прямой $MX$. Прямая $MX$ лежит в плоскости грани $OMK$. Значит, плоскость $\beta$ пересекает плоскость $OMK$ по прямой, параллельной $MX$. Так как плоскость $\beta$ проходит через точку $Y$ (середина $MK$), то она пересекает грань $OMK$ по прямой $YR$, где $R \in OK$ и $YR \parallel MX$. В треугольнике $KMX$ отрезок $YR$ выходит из середины стороны $KM$ и параллелен стороне $MX$. Следовательно, $YR$ - средняя линия $\triangle KMX$, а точка $R$ - середина отрезка $KX$. Поскольку $X$ - середина $OK$, то $KR = \frac{1}{2}KX = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}OK\right) = \frac{1}{4}OK$. Отсюда $OR = OK - KR = OK - \frac{1}{4}OK = \frac{3}{4}OK$. Теперь рассмотрим грань $ONK$. Плоскость $\beta$ пересекает её по прямой $RS$. Так как $YZ \parallel NK$ и $YZ \subset \beta$, то плоскость $\beta$ пересекает плоскость $ONK$ (которая содержит $NK$) по прямой $RS$, параллельной $NK$. В треугольнике $ONK$ отрезок $RS \parallel NK$. По обобщенной теореме Фалеса: $ \frac{OS}{ON} = \frac{OR}{OK} $ Подставляя найденное соотношение для $OR$, получаем: $ \frac{OS}{ON} = \frac{\frac{3}{4}OK}{OK} = \frac{3}{4} $ Таким образом, $OS = \frac{3}{4}ON$.

6. Теперь мы можем найти отношение расстояний от вершины $O$ до плоскостей: $ \frac{d(O, \beta)}{d(O, \alpha)} = \frac{OS}{OP} = \frac{\frac{3}{4}ON}{\frac{1}{2}ON} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3}{2} $

7. Наконец, находим искомую площадь сечения $S_{\beta}$: $ \frac{S_{\beta}}{Q} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} $ $ S_{\beta} = \frac{9}{4}Q $

Ответ: $ \frac{9}{4}Q $