Номер 6, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Сформулируйте свойство плоскостей, перпендикулярных одной прямой.

Свойство плоскостей, перпендикулярных одной прямой, формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема: Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Рассмотрим эту теорему и ее доказательство.

Дано:
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $a$ ($\alpha \perp a$).
Плоскость $\beta$ перпендикулярна прямой $a$ ($\beta \perp a$).

Доказать:
Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются. Пусть их линия пересечения — прямая $c$.

Поскольку прямая $a$ перпендикулярна плоскостям $\alpha$ и $\beta$, она пересекает каждую из них в одной точке. Обозначим точку пересечения прямой $a$ с плоскостью $\alpha$ как $A$, а с плоскостью $\beta$ — как $B$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, точки $A$ и $B$ не совпадают.

На линии пересечения плоскостей $c$ выберем произвольную точку $M$, не лежащую на прямой $a$. Так как точка $M$ принадлежит линии пересечения $c$, она принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$.

1. Прямая $AM$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, так как обе точки $A$ и $M$ лежат в этой плоскости. По условию, прямая $a \perp \alpha$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения $A$. Следовательно, $a \perp AM$. Это означает, что угол $\angle MAB$ — прямой, то есть $\angle MAB = 90^\circ$.

2. Аналогично, прямая $BM$ целиком лежит в плоскости $\beta$, так как обе точки $B$ и $M$ лежат в этой плоскости. По условию, прямая $a \perp \beta$. Следовательно, $a \perp BM$. Это означает, что угол $\angle MBA$ — прямой, то есть $\angle MBA = 90^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle ABM$ есть два прямых угла: $\angle MAB = 90^\circ$ и $\angle MBA = 90^\circ$.

Сумма этих двух углов треугольника составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Однако, по теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех его углов должна быть равна $180^\circ$. Это возможно, только если третий угол, $\angle AMB$, равен $0^\circ$. Угол может быть равен нулю, только если точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то есть на прямой $a$.

Но мы выбрали точку $M$ на прямой $c$ так, что она не лежит на прямой $a$. Мы получили противоречие.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются) было неверным. Следовательно, плоскости не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти плоскости параллельны.