Номер 5, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Сформулируйте свойство прямой, перпендикулярной одной из параллельных плоскостей.

5. Данное свойство является теоремой стереометрии. Для развернутого ответа сформулируем теорему и приведем ее доказательство.

Формулировка теоремы:

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($ \alpha \parallel \beta $) и прямая $c$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($ c \perp \alpha $). Нам необходимо доказать, что прямая $c$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($ c \perp \beta $).

Пусть прямая $c$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а плоскость $\beta$ в точке $B$.

Для доказательства того, что прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\beta$, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Для этого достаточно показать, что прямая $c$ перпендикулярна двум любым пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $\beta$.

1. Выберем в плоскости $\beta$ две произвольные прямые $b_1$ и $b_2$, пересекающиеся в точке $B$.

2. Проведем через прямую $c$ и прямую $b_1$ плоскость $\gamma_1$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то секущая плоскость $\gamma_1$ пересекает их по параллельным прямым. Обозначим линию пересечения $\gamma_1$ и $\alpha$ как $a_1$. Следовательно, $a_1 \parallel b_1$.

3. По условию, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $c$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Значит, $c \perp a_1$.

4. Мы имеем два факта: $c \perp a_1$ и $a_1 \parallel b_1$. По лемме о перпендикулярности прямой к одной из параллельных прямых, из этого следует, что $c \perp b_1$.

5. Аналогичные рассуждения проведем для прямой $b_2$. Построим плоскость $\gamma_2$ через прямые $c$ и $b_2$. Эта плоскость пересечет плоскость $\alpha$ по прямой $a_2$, причем $a_2 \parallel b_2$. Так как $c \perp \alpha$, то $c \perp a_2$. Из этого следует, что $c \perp b_2$.

6. Таким образом, мы доказали, что прямая $c$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $b_1$ и $b_2$, которые лежат в плоскости $\beta$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, это означает, что прямая $c$ перпендикулярна самой плоскости $\beta$.

Теорема доказана.

Ответ: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.