Номер 10, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. В правильной треугольной призме выбирают грань. Сколько рёбер этой призмы перпендикулярны выбранной грани?

Для решения задачи рассмотрим два возможных случая, так как в правильной треугольной призме есть грани двух типов: основания (2 равносторонних треугольника) и боковые грани (3 прямоугольника). Количество перпендикулярных рёбер будет зависеть от того, какой тип грани выбран.

Если выбрана грань-основание (треугольная грань)
В правильной, а значит и в прямой, призме боковые рёбра по определению перпендикулярны плоскостям оснований. Треугольная призма имеет 3 боковых ребра. Каждое из этих рёбер перпендикулярно плоскости верхнего и нижнего основания. Рёбра, являющиеся сторонами треугольных оснований, лежат в плоскостях этих оснований, поэтому не могут быть им перпендикулярны.
Таким образом, если выбрана грань-основание, то ей перпендикулярны 3 ребра.
Ответ: 3.

Если выбрана боковая грань (прямоугольная грань)
Рассмотрим одну из боковых граней. Боковая грань является прямоугольником. Проверим все рёбра призмы на перпендикулярность этой грани.
Четыре ребра, которые образуют эту грань (два боковых ребра и два ребра оснований), лежат в её плоскости и, следовательно, не перпендикулярны ей.
Третье боковое ребро (которое не принадлежит этой грани) параллельно ей.
Остальные рёбра оснований (по два на каждом, не принадлежащие выбранной грани) пересекают плоскость этой грани, но не под прямым углом. Чтобы ребро было перпендикулярно плоскости, оно должно быть перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Ребро основания перпендикулярно боковому ребру (так как призма прямая), но не перпендикулярно ребру основания, лежащему в плоскости боковой грани, так как угол между ними составляет $60^\circ$ (поскольку основание — равносторонний треугольник).
Таким образом, если выбрана боковая грань, то нет ни одного ребра, перпендикулярного ей.
Ответ: 0.

В итоге, в зависимости от того, какая грань выбрана, количество перпендикулярных ей рёбер может быть либо 3, либо 0.