Номер 7, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Сформулируйте утверждение о плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через данную точку.

Утверждение, которое требуется сформулировать, является одной из ключевых теорем стереометрии о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Теорема: Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Для полноты ответа приведем доказательство этой теоремы.

Дано:
Прямая $a$
Точка $M$

Требуется доказать:
1. Существует плоскость $\alpha$ такая, что $M \in \alpha$ и $\alpha \perp a$.
2. Такая плоскость $\alpha$ является единственной.

Доказательство:

1. Существование

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$ относительно прямой $a$.

Случай 1: Точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$).

Через прямую $a$ проведем две произвольные различные плоскости. В одной из них через точку $M$ проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$. В другой плоскости через точку $M$ проведем прямую $c$, также перпендикулярную прямой $a$. Прямые $b$ и $c$ пересекаются в точке $M$ и определяют единственную плоскость $\alpha$. Поскольку прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($b$ и $c$), лежащим в плоскости $\alpha$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Так как плоскость $\alpha$ построена через прямые, проходящие через точку $M$, то и сама плоскость проходит через точку $M$. Существование доказано.

Случай 2: Точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

Через прямую $a$ и точку $M$ проведем плоскость $\beta$. В этой плоскости из точки $M$ опустим перпендикуляр $b$ на прямую $a$. Пусть $O$ — точка их пересечения. Таким образом, $b \perp a$. Теперь через точку $O$ на прямой $a$ проведем плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $a$ (согласно доказанному в случае 1, такая плоскость существует). Так как $b \perp a$ и прямая $b$ проходит через точку $O$, то прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. А поскольку точка $M$ принадлежит прямой $b$, то она принадлежит и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Следовательно, мы построили плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. Существование доказано и для этого случая.

2. Единственность

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существуют две различные плоскости, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, такие, что обе проходят через точку $M$ и обе перпендикулярны прямой $a$.

В геометрии есть теорема, которая гласит: если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Из нашего предположения, что $\alpha_1 \perp a$ и $\alpha_2 \perp a$, следует, что плоскости должны быть параллельны: $\alpha_1 || \alpha_2$.

Однако, по условию, обе плоскости проходят через одну и ту же точку $M$. Параллельные плоскости по определению не имеют общих точек. Если же они имеют хотя бы одну общую точку, то они совпадают.

Таким образом, из того, что $\alpha_1 || \alpha_2$ и $M$ — их общая точка, следует, что $\alpha_1 = \alpha_2$. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что $\alpha_1$ и $\alpha_2$ являются различными плоскостями.

Следовательно, наше предположение неверно, и может существовать только одна плоскость, удовлетворяющая заданным условиям.

Теорема доказана.

Ответ: Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.