Номер 3, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Сформулируйте свойство прямых, перпендикулярных одной плоскости.

Свойство прямых, перпендикулярных одной плоскости, формулируется как теорема.

Теорема: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Это можно записать в виде условного утверждения: если прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$) и прямая $b$ перпендикулярна той же плоскости $\alpha$ ($b \perp \alpha$), то прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Доказательство:

Рассмотрим две различные прямые $a$ и $b$, которые по условию перпендикулярны некоторой плоскости $\alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. В пространстве это означает, что они либо пересекаются, либо являются скрещивающимися.

1. Случай, когда прямые пересекаются. Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались в некоторой точке $M$, то получалось бы, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), перпендикулярные плоскости $\alpha$. Это противоречит теореме о том, что через любую точку пространства проходит только одна прямая, перпендикулярная данной плоскости. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

2. Случай, когда прямые скрещиваются. Докажем, что и этот случай невозможен. Выберем на прямой $b$ произвольную точку $C$, не лежащую в плоскости $\alpha$. Через эту точку $C$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $a$.

Согласно теореме о связи параллельности прямых и их перпендикулярности к плоскости, если одна из двух параллельных прямых ($a$) перпендикулярна плоскости ($\alpha$), то и вторая прямая ($b'$) также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, мы имеем $b' \perp \alpha$.

В результате мы получили, что через точку $C$ проходят две прямые — $b$ (по условию) и $b'$ (по нашему построению), и обе они перпендикулярны плоскости $\alpha$. Снова обращаясь к теореме о единственности перпендикуляра из точки к плоскости, мы заключаем, что эти прямые должны совпадать, то есть $b$ и $b'$ — это одна и та же прямая.

Но так как мы строили прямую $b'$ параллельно прямой $a$, а прямая $b$ совпала с $b'$, то из этого следует, что прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Это противоречит нашему исходному предположению, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Таким образом, единственно возможным взаимным расположением прямых $a$ и $b$ является параллельность. Теорема доказана.

Ответ: Свойство заключается в том, что две прямые в пространстве, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.