Номер 171, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

171. Начертите треугольную пирамиду $ABCD$ и отметьте точку $M$ на ребре $AB$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно грани $BDC$.

Для построения сечения пирамиды $ABCD$ плоскостью, проходящей через точку $M$ на ребре $AB$ параллельно грани $BDC$, выполним следующие шаги. Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$.

1. Построение линии пересечения с гранью ABD

Плоскость сечения $\alpha$ должна пересечь грань $ABD$. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости грани $BDC$ ($\alpha \parallel (BDC)$). Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Рассмотрим плоскость грани $ABD$ как секущую плоскость. Она пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой и плоскость $(BDC)$ по прямой $BD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABD$ должна быть параллельна прямой $BD$.

Таким образом, в плоскости грани $ABD$ через точку $M$ проведем прямую, параллельную ребру $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AD$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — это линия пересечения плоскости сечения $\alpha$ с гранью $ABD$.

Итак, строим $MN \parallel BD$, где $N \in AD$.

2. Построение линии пересечения с гранью ABC

Рассуждая аналогично, рассмотрим плоскость грани $ABC$ как секущую плоскость для параллельных плоскостей $\alpha$ и $(BDC)$. Плоскость $(ABC)$ пересекает плоскость $(BDC)$ по прямой $BC$. Значит, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABC$ должна быть параллельна прямой $BC$.

Проведем в плоскости грани $ABC$ через точку $M$ прямую, параллельную ребру $BC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AC$ в точке $K$. Отрезок $MK$ — это линия пересечения плоскости сечения $\alpha$ с гранью $ABC$.

Итак, строим $MK \parallel BC$, где $K \in AC$.

3. Завершение построения сечения

Мы получили три точки $M$, $N$ и $K$, принадлежащие плоскости сечения $\alpha$. Точки $N$ и $K$ лежат на ребрах $AD$ и $AC$ соответственно, а значит, обе лежат в плоскости грани $ADC$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ADC$ — это отрезок $NK$.

Соединяем точки $N$ и $K$. Полученный треугольник $MNK$ и есть искомое сечение.

Обоснование

По построению мы имеем:
1) $MN \parallel BD$
2) $MK \parallel BC$

Прямые $MN$ и $MK$ лежат в плоскости сечения $(MNK)$ и пересекаются в точке $M$. Прямые $BD$ и $BC$ лежат в плоскости грани $(BDC)$ и пересекаются в точке $B$. По признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, плоскость $(MNK)$ параллельна плоскости $(BDC)$.

Так как плоскость $(MNK)$ проходит через заданную точку $M$, то треугольник $MNK$ является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $MNK$, где точка $N$ лежит на ребре $AD$ и $MN \parallel BD$, а точка $K$ лежит на ребре $AC$ и $MK \parallel BC$.