Номер 170, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

170. Начертите параллелепипед $OPQRO_1P_1Q_1R_1$ и постройте его сечение плоскостью $MNK$, где точки $M$, $N$ и $K$ лежат соответственно на рёбрах:

а) $PP_1$, $OO_1$, $OR$;

б) $QQ_1$, $OR$, $PP_1$.

a) Точки $M$, $N$ и $K$ лежат соответственно на рёбрах $PP_1$, $OO_1$, $OR$ параллелепипеда $OPQRO_1P_1Q_1R_1$.
Для построения сечения выполним следующие шаги:
1. Начертим параллелепипед $OPQRO_1P_1Q_1R_1$ и отметим на его рёбрах точки $M \in PP_1$, $N \in OO_1$ и $K \in OR$.
2. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости передней грани $OPP_1O_1$. Соединим их, получив отрезок $MN$, который является стороной сечения.
3. Точки $N$ и $K$ лежат в плоскости левой боковой грани $ORR_1O_1$. Соединим их, получив отрезок $NK$ — ещё одну сторону сечения.
4. Теперь необходимо найти точку пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с каким-либо другим ребром параллелепипеда. Для этого воспользуемся методом следов. Найдем след (линию пересечения) секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости нижнего основания $(OPQ)$.
5. Точка $K$ уже лежит в плоскости основания. Чтобы найти вторую точку следа, продлим прямую $MN$ (лежащую в плоскости передней грани) до пересечения с прямой $OP$ (линией пересечения передней грани и основания). Обозначим точку их пересечения $S_1$. Так как $S_1 \in MN$, то $S_1$ принадлежит секущей плоскости. Так как $S_1 \in OP$, то $S_1$ принадлежит плоскости основания. Следовательно, прямая $KS_1$ является следом секущей плоскости на плоскости основания.
6. След $KS_1$ пересекает рёбра многоугольника в основании $OPQR$. Он проходит через точку $K$ на ребре $OR$. Найдём его точку пересечения с другим ребром основания. В зависимости от расположения точек, прямая $KS_1$ пересечёт ребро $PQ$. Обозначим эту точку пересечения как $L$. Тогда отрезок $KL$ — это сторона сечения, лежащая на грани основания.
7. Теперь у нас есть точка $L$ на ребре $PQ$ и точка $M$ на ребре $PP_1$. Обе эти точки лежат в плоскости правой боковой грани $PQQ_1P_1$. Соединим их отрезком $LM$, который будет четвёртой стороной сечения.
8. Получили замкнутый многоугольник $MNKL$. Его стороны: $MN$ (на грани $OPP_1O_1$), $NK$ (на грани $ORR_1O_1$), $KL$ (на грани $OPQR$) и $LM$ (на грани $PQQ_1P_1$).

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MNKL$, где точка $L$ является точкой пересечения следа секущей плоскости с ребром $PQ$.

б) Точки $M$, $N$ и $K$ лежат соответственно на рёбрах $QQ_1$, $OR$, $PP_1$.
Для построения сечения выполним следующие шаги:
1. Начертим параллелепипед $OPQRO_1P_1Q_1R_1$ и отметим на его рёбрах точки $M \in QQ_1$, $N \in OR$ и $K \in PP_1$.
2. Точки $K$ и $M$ лежат в плоскости правой боковой грани $PQQ_1P_1$. Соединим их, получив отрезок $KM$, который является стороной сечения.
3. Воспользуемся методом следов для нахождения других сторон сечения. Найдем след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости нижнего основания $(OPQ)$.
4. Точка $N$ лежит на ребре $OR$, которое принадлежит основанию, значит, точка $N$ принадлежит следу.
5. Для нахождения второй точки следа найдём точку пересечения прямой $KM$ с плоскостью основания. Прямая $KM$ лежит в плоскости $PQQ_1P_1$, которая пересекается с плоскостью основания по прямой $PQ$. Продлим отрезки $KM$ и $PQ$ до их пересечения в точке $S_1$. Точка $S_1$ принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания, а значит, и их следу.
6. Прямая $NS_1$ — это след секущей плоскости на плоскости основания. Эта прямая проходит через точку $N$ на ребре $OR$ и пересекает ребро $OP$ в некоторой точке $L$. Отрезок $NL$ — это сторона сечения на грани основания.
7. Точки $L \in OP$ и $K \in PP_1$ лежат в плоскости передней грани $OPP_1O_1$. Соединим их. Отрезок $LK$ — следующая сторона сечения.
8. Теперь воспользуемся свойством параллельности граней. Левая боковая грань $ORR_1O_1$ параллельна правой боковой грани $PQQ_1P_1$. Секущая плоскость пересекает правую грань по отрезку $KM$. Следовательно, левую грань она пересечёт по прямой, параллельной $KM$. Проведём через точку $N$ (лежащую на левой грани) прямую, параллельную $KM$. Эта прямая пересечёт ребро $RR_1$ в точке $T$. Отрезок $NT$ — сторона сечения ($NT \parallel KM$).
9. Осталось соединить точки $T \in RR_1$ и $M \in QQ_1$. Обе они лежат в плоскости задней грани $RQQ_1R_1$. Соединив их, получаем последнюю сторону сечения $TM$.
10. Получили замкнутый многоугольник $NLKMT$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $NLKMT$, где $L$ — точка на ребре $OP$, а $T$ — точка на ребре $RR_1$.