Номер 173, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

173. На рёбрах $QA$, $QB$ и $QC$ треугольной пирамиды $QABC$ отмечены такие точки $M$, $N$, $P$, что $QM : MA = QN : NB = QP : PC$. Докажите, что плоскости $MNP$ и $ABC$ параллельны. Найдите площадь треугольника $MNP$, учитывая, что площадь треугольника $ABC$ равна $18 \text{ см}^2$ и $QM : MA = 2 : 1$.

Доказательство параллельности плоскостей MNP и ABC

Рассмотрим грань пирамиды - треугольник $QAB$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $QA$ и $QB$ соответственно. По условию задачи дано отношение $QM : MA = QN : NB$.

Рассмотрим отношение отрезков, отсекаемых от вершины $Q$: $QA = QM + MA$ и $QB = QN + NB$. Из условия $QM : MA = QN : NB$ следует, что $\frac{QM}{MA} = \frac{QN}{NB}$. Добавим 1 к обеим частям равенства: $\frac{QM}{MA} + 1 = \frac{QN}{NB} + 1$. Приводя к общему знаменателю, получаем: $\frac{QM + MA}{MA} = \frac{QN + NB}{NB}$, что равносильно $\frac{QA}{MA} = \frac{QB}{NB}$. Перевернув дроби, получим $\frac{MA}{QA} = \frac{NB}{QB}$. Так как $\frac{QM}{MA} = \frac{QN}{NB}$, то из этого следует, что и $\frac{QM}{QA} = \frac{QN}{QB}$.

Рассмотрим треугольники $QMN$ и $QAB$. У них общий угол при вершине $Q$. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{QM}{QA} = \frac{QN}{QB}$. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle QMN \sim \triangle QAB$. Из подобия треугольников следует параллельность их соответствующих сторон: $MN \parallel AB$.

Аналогично, рассмотрим грань $QAC$ и треугольники $QMP$ и $QAC$. По условию $QM : MA = QP : PC$, значит $\frac{QM}{QA} = \frac{QP}{QC}$. Угол при вершине $Q$ у них общий, следовательно, $\triangle QMP \sim \triangle QAC$. Из подобия этих треугольников следует, что $MP \parallel AC$.

Итак, мы имеем:
1. Прямая $MN$ из плоскости $MNP$ параллельна прямой $AB$ из плоскости $ABC$.
2. Прямая $MP$ из плоскости $MNP$ параллельна прямой $AC$ из плоскости $ABC$.
3. Прямые $MN$ и $MP$ пересекаются в точке $M$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, плоскость $MNP$ параллельна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Нахождение площади треугольника MNP

Из доказательства выше следует, что треугольник $MNP$ подобен треугольнику $ABC$. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отсекает подобную пирамиду, основанием которой является сечение.

Найдем коэффициент подобия $k$ этих треугольников. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, например, $k = \frac{MN}{AB}$. Из подобия треугольников $QMN$ и $QAB$ мы знаем, что $k = \frac{QM}{QA}$.

По условию дано, что $QM : MA = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $QA$ можно разделить на $2 + 1 = 3$ равные части, из которых две части приходятся на $QM$, а одна - на $MA$. Тогда отношение $QM$ к всей длине ребра $QA$ равно: $k = \frac{QM}{QA} = \frac{QM}{QM + MA} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = k^2$. Площадь треугольника $ABC$ дана по условию: $S_{ABC} = 18$ см$^2$. Подставим известные значения в формулу: $S_{MNP} = S_{ABC} \cdot k^2 = 18 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 18 \cdot \frac{4}{9}$.

Выполним вычисление: $S_{MNP} = \frac{18 \cdot 4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.