Номер 166, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

166. Начертите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через:

а) ребро $CC_1$ и точку пересечения диагоналей грани $AA_1D_1D$;

б) точку пересечения диагоналей грани $ABCD$ параллельно плоскости $AB_1C_1$.

Для решения задачи начертим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание.

Построим сечение параллелепипеда плоскостью $\alpha$, которая проходит через ребро $CC_1$ и точку пересечения диагоналей грани $AA_1D_1D$.

1. Обозначим точку пересечения диагоналей $AD_1$ и $A_1D$ грани $AA_1D_1D$ как точку $O_1$. По свойствам параллелограмма, точка $O_1$ является серединой этих диагоналей.
2. Секущая плоскость $\alpha$ определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. В нашем случае это точки $C$, $C_1$ и $O_1$. Так как плоскость проходит через ребро $CC_1$, то отрезок $CC_1$ является частью искомого сечения и лежит на пересечении плоскости $\alpha$ с гранями $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$.
3. Грани $AA_1D_1D$ и $BCC_1B_1$ параллельны. По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны.
4. Плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой, содержащей отрезок $CC_1$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна ребру $CC_1$ и проходить через точку $O_1$.
5. Проведем в плоскости грани $AA_1D_1D$ через точку $O_1$ прямую, параллельную $CC_1$. Так как в параллелепипеде боковые ребра параллельны ($CC_1 || DD_1 || AA_1$), эта прямая будет параллельна ребрам $AA_1$ и $DD_1$.
6. Пусть эта прямая пересекает ребра $AD$ и $A_1D_1$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Поскольку $O_1$ — середина диагонали $A_1D$, то по теореме Фалеса, точки $N$ и $M$ являются серединами ребер $AD$ и $A_1D_1$ соответственно. Отрезок $MN$ — это след секущей плоскости на грани $AA_1D_1D$.
7. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $C, C_1, M, N$. Соединим последовательно точки, лежащие в одной грани:
   • Точки $N$ и $C$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $NC$.
   • Точки $M$ и $C_1$ лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем их отрезком $MC_1$.
8. В результате получаем четырехугольник $NCC_1M$. Этот четырехугольник и является искомым сечением. Можно доказать, что $NCC_1M$ — параллелограмм. Вектор $\vec{NC} = \vec{ND} + \vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{DC}$. Аналогично, $\vec{MC_1} = \vec{MD_1} + \vec{D_1C_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1} + \vec{D_1C_1}$. В параллелепипеде $\vec{AD} = \vec{A_1D_1}$ и $\vec{DC} = \vec{D_1C_1}$, следовательно, $\vec{NC} = \vec{MC_1}$. Равенство векторов означает, что отрезки $NC$ и $MC_1$ параллельны и равны по длине, поэтому четырехугольник $NCC_1M$ — параллелограмм.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $NCC_1M$, где $N$ — середина ребра $AD$, а $M$ — середина ребра $A_1D_1$.

Построим сечение параллелепипеда плоскостью $\beta$, которая проходит через точку пересечения диагоналей грани $ABCD$ и параллельна плоскости $AB_1C_1$.

1. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ грани $ABCD$ как точку $O$.
2. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A, B_1, C_1$. Покажем, что эта плоскость также содержит точку $D$. Введем базисные векторы: $\vec{a} = \vec{AA_1}$, $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$. Тогда $\vec{AB_1} = \vec{b} + \vec{a}$ и $\vec{AC_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{a}$. Вектор $\vec{AD}$ можно выразить через них: $\vec{d} = (\vec{b} + \vec{d} + \vec{a}) - (\vec{b} + \vec{a}) = \vec{AC_1} - \vec{AB_1}$. Так как вектор $\vec{AD}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$, точки $A, D, B_1, C_1$ лежат в одной плоскости. Сечение параллелепипеда этой плоскостью — параллелограмм $AB_1C_1D$.
3. Секущая плоскость $\beta$ должна проходить через точку $O$ и быть параллельной плоскости $(AB_1C_1D)$. По свойству параллельных плоскостей, плоскость $\beta$ будет пересекать грани параллелепипеда по прямым, параллельным соответствующим сторонам сечения $AB_1C_1D$. Стороны этого сечения: $AD$, $AB_1$, $B_1C_1$ и $C_1D$.
4. Найдём вершины сечения на ребрах параллелепипеда.
   • Плоскость $\beta$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой, проходящей через $O$ и параллельной $AD$. Эта прямая является средней линией для сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает их в серединах. Обозначим эти точки $P$ (середина $AB$) и $Q$ (середина $CD$). Точки $P$ и $Q$ — вершины искомого сечения.
   • Плоскость $\beta$ пересекает переднюю грань $ABB_1A_1$ по прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной $AB_1$. По теореме о средней линии для треугольника $ABB_1$, эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в его середине. Обозначим эту точку $R$.
   • Плоскость $\beta$ пересекает правую боковую грань $BCC_1B_1$ по прямой, проходящей через точку $R$ и параллельной $B_1C_1$. Так как $B_1C_1 || BC$, эта прямая параллельна $BC$. Она пересекает ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $S$.
5. Построим сечение. Мы нашли четыре вершины сечения: $P$ (середина $AB$), $R$ (середина $BB_1$), $S$ (середина $CC_1$) и $Q$ (середина $CD$). Соединяем их последовательно, получая стороны сечения, лежащие на гранях параллелепипеда:
   • $PR$ на грани $ABB_1A_1$.
   • $RS$ на грани $BCC_1B_1$.
   • $SQ$ на грани $CDD_1C_1$. (Проверка: $SQ$ в $\triangle DCC_1$ является средней линией, значит $SQ || DC_1$. След плоскости $(AB_1C_1D)$ на этой грани — отрезок $DC_1$. Построение верно).
   • $QP$ на грани $ABCD$. (Проверка: $QP$ соединяет середины $AB$ и $CD$, поэтому $QP || AD$. След плоскости $(AB_1C_1D)$ на этой грани — $AD$. Построение верно).
6. Искомое сечение — четырехугольник $PRSQ$. Так как его противоположные стороны попарно параллельны (например, $PR || SQ$, так как обе прямые параллельны $AB_1$, и $RS || PQ$, так как обе прямые параллельны $AD$), то $PRSQ$ — параллелограмм.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $PRSQ$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BB_1, CC_1$ и $CD$.