Номер 160, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

160. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают сторону $CB$ угла $BCD$ в точках $B_1$ и $B_2$, а сторону $CD$ — в точках $D_1$ и $D_2$ соответственно. Найдите:

Рис. 200

а) $CB_2$ и $CD_2$, учитывая, что $B_2D_2 = 3B_1D_1$, $B_1B_2 = 12$ см, $CD_1 = 5$ см;

б) $B_2D_2$ и $CB_2$, учитывая, что $B_1D_1 = 18$ см, $CB_1 = 24$ см, $CB_2 = \frac{3}{2} B_1B_2$.

Поскольку параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают стороны угла $BCD$, то согласно обобщенной теореме Фалеса, прямые $B_1D_1$ и $B_2D_2$, по которым эти плоскости пересекают плоскость угла, параллельны. Следовательно, треугольники $\triangle CB_1D_1$ и $\triangle CB_2D_2$ подобны по двум углам (угол $C$ общий, а углы $\angle CB_1D_1$ и $\angle CB_2D_2$ равны как соответственные при параллельных прямых $B_1D_1$ и $B_2D_2$ и секущей $CB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{CB_1}{CB_2} = \frac{CD_1}{CD_2} = \frac{B_1D_1}{B_2D_2}$

Дано: $B_2D_2 = 3B_1D_1$, $B_1B_2 = 12$ см, $CD_1 = 5$ см. Найти $CB_2$ и $CD_2$.

Из условия $B_2D_2 = 3B_1D_1$ следует, что коэффициент подобия треугольников $\triangle CB_2D_2$ и $\triangle CB_1D_1$ равен $k = \frac{B_2D_2}{B_1D_1} = 3$.

Значит, $\frac{CB_2}{CB_1} = 3$ и $\frac{CD_2}{CD_1} = 3$.

Из соотношения $\frac{CB_2}{CB_1} = 3$ получаем $CB_2 = 3CB_1$.

Точка $B_1$ лежит между точками $C$ и $B_2$ (так как плоскости пересекают стороны угла), поэтому $CB_2 = CB_1 + B_1B_2$.

Подставим $CB_2 = 3CB_1$ в это равенство: $3CB_1 = CB_1 + B_1B_2$.

Отсюда $2CB_1 = B_1B_2$.

Так как $B_1B_2 = 12$ см, то $2CB_1 = 12$ см, и $CB_1 = 6$ см.

Теперь найдем $CB_2$: $CB_2 = CB_1 + B_1B_2 = 6 + 12 = 18$ см.

Для нахождения $CD_2$ воспользуемся соотношением $\frac{CD_2}{CD_1} = 3$, откуда $CD_2 = 3CD_1$.

Подставим известное значение $CD_1 = 5$ см: $CD_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: $CB_2 = 18$ см, $CD_2 = 15$ см.

Дано: $B_1D_1 = 18$ см, $CB_1 = 24$ см, $CB_2 = \frac{3}{2} B_1B_2$. Найти $B_2D_2$ и $CB_2$.

Как и в предыдущем пункте, используем равенство $CB_2 = CB_1 + B_1B_2$.

Приравняем это выражение к данному в условии: $CB_1 + B_1B_2 = \frac{3}{2} B_1B_2$.

Выразим $CB_1$: $CB_1 = \frac{3}{2} B_1B_2 - B_1B_2 = (\frac{3}{2} - 1)B_1B_2 = \frac{1}{2} B_1B_2$.

Подставим известное значение $CB_1 = 24$ см: $24 = \frac{1}{2} B_1B_2$, откуда $B_1B_2 = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Теперь найдем $CB_2$, используя любое из выражений. Например: $CB_2 = CB_1 + B_1B_2 = 24 + 48 = 72$ см.

Теперь, зная стороны $CB_1$ и $CB_2$, найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{CB_2}{CB_1} = \frac{72}{24} = 3$.

Из пропорции $\frac{B_2D_2}{B_1D_1} = k$ найдем $B_2D_2$:

$B_2D_2 = k \cdot B_1D_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.

Ответ: $B_2D_2 = 54$ см, $CB_2 = 72$ см.