Номер 156, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

156. Три отрезка $P_1P_2$, $Q_1Q_2$, и $R_1R_2$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Определите, параллельны ли плоскости $P_1Q_1R_1$ и $P_2Q_2R_2$.

Пусть точка $M$ является общей серединой отрезков $P_1P_2$, $Q_1Q_2$ и $R_1R_2$.

Рассмотрим четырехугольник $P_1Q_1P_2Q_2$. Его диагонали $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ пересекаются в точке $M$, которая по условию является серединой каждой из них. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $P_1Q_1P_2Q_2$ — параллелограмм.

Из того, что $P_1Q_1P_2Q_2$ является параллелограммом, следует, что его противолежащие стороны параллельны. В частности, прямая $P_1Q_1$ параллельна прямой $P_2Q_2$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $Q_1R_1Q_2R_2$. Его диагонали $Q_1Q_2$ и $R_1R_2$ также имеют общую середину $M$. Таким образом, $Q_1R_1Q_2R_2$ — это параллелограмм, а значит, его сторона $Q_1R_1$ параллельна стороне $Q_2R_2$.

Теперь у нас есть две плоскости: плоскость $\alpha$, проходящая через точки $P_1, Q_1, R_1$, и плоскость $\beta$, проходящая через точки $P_2, Q_2, R_2$.

В плоскости $\alpha$ лежат две прямые $P_1Q_1$ и $Q_1R_1$, которые пересекаются в точке $Q_1$. (Точки $P_1, Q_1, R_1$ не лежат на одной прямой, иначе отрезки $P_1P_2, Q_1Q_2, R_1R_2$ были бы коллинеарны и, следовательно, лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию задачи).

В плоскости $\beta$ лежат две прямые $P_2Q_2$ и $Q_2R_2$, которые пересекаются в точке $Q_2$.

Мы доказали, что:
1. Прямая $P_1Q_1$ параллельна прямой $P_2Q_2$ ($P_1Q_1 \parallel P_2Q_2$).
2. Прямая $Q_1R_1$ параллельна прямой $Q_2R_2$ ($Q_1R_1 \parallel Q_2R_2$).

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Так как пересекающиеся прямые $P_1Q_1$ и $Q_1R_1$ в плоскости $P_1Q_1R_1$ параллельны пересекающимся прямым $P_2Q_2$ и $Q_2R_2$ в плоскости $P_2Q_2R_2$, то плоскости $P_1Q_1R_1$ и $P_2Q_2R_2$ параллельны.

Ответ: Да, плоскости $P_1Q_1R_1$ и $P_2Q_2R_2$ параллельны.