Номер 11, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$. Существует ли плоскость, которая проходит через прямую $m$ и параллельна плоскости $\alpha$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что такая плоскость, назовем ее $\beta$, существует. Согласно этому предположению, плоскость $\beta$ удовлетворяет двум условиям:
1. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $m$ (то есть $m \subset \beta$).
2. Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ (то есть $\beta \parallel \alpha$).

Из условия задачи нам известно, что прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$. Это означает, что точка $A$ является общей точкой для прямой $m$ и плоскости $\alpha$. Математически это можно записать так: $A \in m$ и $A \in \alpha$.

Рассмотрим следствия нашего предположения.
Из первого условия ($m \subset \beta$) следует, что все точки прямой $m$ также принадлежат плоскости $\beta$. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $m$ ($A \in m$), то она должна принадлежать и плоскости $\beta$ ($A \in \beta$).

Таким образом, мы установили, что точка $A$ принадлежит как плоскости $\alpha$ (по условию задачи), так и плоскости $\beta$ (согласно нашему предположению). Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют как минимум одну общую точку $A$, то есть они пересекаются.

Теперь обратимся ко второму условию нашего предположения: $\beta \parallel \alpha$. По определению, две различные плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (их пересечение пусто).

Возникло противоречие. С одной стороны, если плоскость $\beta$ существует, у нее должна быть общая точка $A$ с плоскостью $\alpha$. С другой стороны, по условию параллельности, у них не должно быть общих точек. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании плоскости $\beta$ было неверным.

Ответ: Нет, такая плоскость не существует. Если бы она существовала, то, проходя через прямую $m$, она бы содержала и точку $A$. Но точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$, следовательно, эта плоскость пересекалась бы с плоскостью $\alpha$, а не была бы ей параллельна.