Номер 5, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Сформулируйте утверждение об отрезках, которые две параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых.

Формулировка утверждения

Если две параллельные прямые пересекаются двумя параллельными плоскостями, то отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ (то есть $\alpha \parallel \beta$) и две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$).

Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A_1$ и плоскость $\beta$ в точке $A_2$.
Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B_1$ и плоскость $\beta$ в точке $B_2$.
Таким образом, между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ на прямых $a$ и $b$ образовались отрезки $A_1A_2$ и $B_1B_2$.
Требуется доказать, что длины этих отрезков равны: $A_1A_2 = B_1B_2$.

1. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны по условию, через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат в этой плоскости.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает данные параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
Линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$ является прямая, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$.
Линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$ является прямая, проходящая через точки $A_2$ и $B_2$.
Следовательно, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $A_2B_2$, то есть $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

3. Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2A_2$, который лежит в плоскости $\gamma$.
В этом четырехугольнике стороны $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны, так как они лежат на параллельных по условию прямых $a$ и $b$ ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$).
Стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$ также параллельны, что было доказано в предыдущем пункте ($A_1B_1 \parallel A_2B_2$).

4. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом. Таким образом, $A_1B_1B_2A_2$ — это параллелограмм.

5. Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.