Номер 153, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

153*. Имеется правильная четырёхугольная пирамида $FMNKL$, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания, а площадь боковой поверхности равна $S$. Найдите длину расположенного внутри пирамиды отрезка прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и параллельной медиане $FR$ грани $FLK$.

Пусть $FMNKL$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $F$ и основанием $MNKL$. В основании лежит квадрат $MNKL$. Обозначим сторону основания за $a$, то есть $KL=a$. По условию, боковое ребро в два раза больше стороны основания, следовательно, длина бокового ребра $l = FK = FL = 2a$.

Площадь боковой поверхности $S$ складывается из площадей четырёх равных боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Рассмотрим грань $FKL$. Её стороны равны $FK=FL=2a$ и $KL=a$.

Найдём площадь треугольника $FKL$. Для этого вычислим его высоту (апофему пирамиды), проведённую к основанию $KL$. В условии эта высота названа медианой $FR$, где $R$ — середина стороны $KL$. Так как треугольник $FKL$ равнобедренный, медиана $FR$ является и высотой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $FRK$. Гипотенуза $FK=2a$, катет $RK = \frac{1}{2}KL = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора найдём катет $FR$:$FR^2 = FK^2 - RK^2 = (2a)^2 - (\frac{a}{2})^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{16a^2 - a^2}{4} = \frac{15a^2}{4}$. Отсюда апофема $FR = \sqrt{\frac{15a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$.

Площадь одной боковой грани $\triangle FKL$ равна:$S_{\triangle FKL} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot FR = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{a^2\sqrt{15}}{4}$.

Площадь всей боковой поверхности пирамиды равна $S = 4 \cdot S_{\triangle FKL} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{15}}{4} = a^2\sqrt{15}$. Из этого соотношения выразим квадрат стороны основания через $S$:$a^2 = \frac{S}{\sqrt{15}}$.

Теперь найдём длину искомого отрезка. Отрезок является частью прямой, которая проходит через точку пересечения диагоналей основания $O$ и параллельна медиане $FR$ грани $FLK$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $F$ и середины противолежащих сторон основания, например, $MN$ и $KL$. Пусть $P$ — середина $MN$, а $R$ — середина $KL$. Сечением является равнобедренный треугольник $FPR$. Его боковые стороны $FP$ и $FR$ — это апофемы пирамиды, а основание $PR$ равно стороне квадрата $a$. Точка $O$ (центр основания) является серединой отрезка $PR$.

Прямая, о которой идёт речь в задаче, проходит через точку $O$ и параллельна $FR$. Так как и точка $O$, и прямая $FR$ лежат в плоскости сечения $FPR$, то вся искомая прямая также лежит в этой плоскости.

Таким образом, отрезок этой прямой, расположенный внутри пирамиды, — это отрезок, лежащий внутри треугольника $FPR$. Прямая проходит через середину стороны $PR$ (точку $O$) и параллельна стороне $FR$. По свойству средней линии треугольника, эта прямая пересекает сторону $FP$ в её середине. Обозначим точку пересечения как $X$. Искомый отрезок — это отрезок $OX$. Длина отрезка $OX$ равна половине длины стороны $FR$, которой он параллелен.

Длина искомого отрезка $L$ равна:$L = OX = \frac{1}{2}FR$.

Мы уже нашли, что $FR = \frac{a\sqrt{15}}{2}$. Тогда$L = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{a\sqrt{15}}{4}$.

Чтобы выразить длину $L$ через $S$, воспользуемся соотношением $a^2 = \frac{S}{\sqrt{15}}$. Возведём выражение для $L$ в квадрат:$L^2 = \left(\frac{a\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 15}{16}$. Подставим сюда выражение для $a^2$:$L^2 = \frac{\frac{S}{\sqrt{15}} \cdot 15}{16} = \frac{S\sqrt{15}}{16}$.

Извлекая квадратный корень, получаем окончательный результат:$L = \sqrt{\frac{S\sqrt{15}}{16}} = \frac{\sqrt{S\sqrt{15}}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{S\sqrt{15}}}{4}$