Номер 148, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

148. Имеется правильная треугольная пирамида $MNPQ$, длина бокового ребра которой равна 6 см, а основанием является треугольник со стороной 4 см. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью, параллельной $NP$ и проходящей через середину ребра $PQ$, и среднюю линию треугольника $MNP$.

Пусть $M$ — вершина правильной треугольной пирамиды $MNPQ$, а $NPQ$ — её основание. Согласно условию, пирамида является правильной, что означает, что её основание $NPQ$ — равносторонний треугольник, а все боковые рёбра равны между собой. Длина бокового ребра составляет $MN = MP = MQ = 6$ см, а длина стороны основания $NP = PQ = NQ = 4$ см.

Построим сечение. Секущая плоскость $\alpha$ параллельна ребру основания $NP$. Также она проходит через среднюю линию треугольника $MNP$. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна $NP$, она должна содержать ту среднюю линию треугольника $MNP$, которая параллельна стороне $NP$. Обозначим середины боковых рёбер $MN$ и $MP$ как $A$ и $B$ соответственно. Тогда отрезок $AB$ — это искомая средняя линия, и он лежит в плоскости сечения. Его длина равна половине длины стороны $NP$: $AB = \frac{1}{2} NP = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Плоскость $\alpha$ также проходит через точку $K$ — середину ребра основания $PQ$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна $NP$, её линия пересечения с плоскостью основания $(NPQ)$ также должна быть параллельна $NP$. Эта линия пересечения проходит через точку $K$. Проведём в плоскости основания прямую через $K$ параллельно $NP$ до пересечения с ребром $NQ$ в точке $L$. В треугольнике основания $NPQ$ отрезок $KL$ проходит через середину стороны $PQ$ (точку $K$) и параллелен стороне $NP$. По свойству средней линии, точка $L$ является серединой стороны $NQ$, а сам отрезок $KL$ является средней линией треугольника $NPQ$. Его длина равна: $KL = \frac{1}{2} NP = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Таким образом, искомое сечение — это четырёхугольник $ABKL$. Для нахождения его периметра нужно найти длины сторон $BK$ и $LA$.

Рассмотрим боковую грань $MPQ$. Точка $B$ — середина ребра $MP$, а точка $K$ — середина ребра $PQ$. Следовательно, отрезок $BK$ является средней линией треугольника $MPQ$. Его длина равна половине длины бокового ребра $MQ$: $BK = \frac{1}{2} MQ = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Аналогично, рассмотрим боковую грань $MNQ$. Точка $A$ — середина ребра $MN$, а точка $L$ — середина ребра $NQ$. Следовательно, отрезок $LA$ также является средней линией, на этот раз в треугольнике $MNQ$. Его длина также равна половине длины бокового ребра $MQ$: $LA = \frac{1}{2} MQ = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Теперь, когда известны длины всех сторон сечения ($AB=2$ см, $KL=2$ см, $BK=3$ см, $LA=3$ см), мы можем вычислить его периметр $P_{ABKL}$: $P_{ABKL} = AB + BK + KL + LA = 2 + 3 + 2 + 3 = 10$ см.

Ответ: 10 см.