Номер 145, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

145. Сторона $RT$ треугольника $RST$ параллельна плоскости $\gamma$, а стороны $RS$ и $ST$ пересекаются с этой плоскостью в точках $M$ и $N$. Докажите, что треугольники $RST$ и $MSN$ подобны.

Дано:
Дан треугольник $RST$ и плоскость $\gamma$.
Сторона $RT$ треугольника параллельна плоскости $\gamma$, то есть $RT \parallel \gamma$.
Стороны $RS$ и $ST$ пересекают плоскость $\gamma$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Это означает, что $M \in RS$, $N \in ST$, и точки $M, N$ лежат в плоскости $\gamma$.

Доказать:
Треугольники $RST$ и $MSN$ подобны ($\triangle RST \sim \triangle MSN$).

Доказательство:
1. Рассмотрим плоскость $\alpha$, в которой лежит треугольник $RST$. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $RS$ и $ST$ этого треугольника, они также принадлежат плоскости $\alpha$.
2. По условию, точки $M$ и $N$ также лежат в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$.
3. По условию задачи, прямая $RT$ параллельна плоскости $\gamma$ ($RT \parallel \gamma$), при этом сама прямая $RT$ лежит в плоскости $\alpha$.
4. Воспользуемся теоремой о параллельности прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую ($RT$), параллельную другой плоскости ($\gamma$), и пересекает эту плоскость по некоторой прямой ($MN$), то линия пересечения параллельна данной прямой. Отсюда следует, что $RT \parallel MN$.
5. Теперь сравним треугольники $RST$ и $MSN$. Для доказательства их подобия воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум углам):

• Угол при вершине $S$ является общим для обоих треугольников, следовательно, $\angle RST = \angle MSN$.
• Так как прямые $RT$ и $MN$ параллельны, а прямая $RS$ является для них секущей, то соответственные углы при этих параллельных прямых равны: $\angle SRT = \angle SMN$.

6. Поскольку два угла треугольника $RST$ (а именно $\angle S$ и $\angle R$) соответственно равны двум углам треугольника $MSN$ (а именно $\angle S$ и $\angle M$), то эти треугольники подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $RST$ и $MSN$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам), так как угол $\angle S$ у них общий, а углы $\angle SRT$ и $\angle SMN$ равны как соответственные при параллельных прямых $RT$ и $MN$ и секущей $RS$.