Номер 146, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

146. На отрезке $AB$ выбрана такая точка $C$, что $AB : BC = 4 : 3$. Через конец $B$ отрезка $AB$ проведена плоскость $\alpha$. Параллельно этой плоскости построен отрезок $CD$, равный 24 см. Докажите, что прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $E$, и найдите отрезок $BE$.

Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E

Рассмотрим плоскость β, которая однозначно определяется прямой AB и точкой D, не лежащей на этой прямой (плоскость (ABD)). Так как точка C лежит на отрезке AB, она также принадлежит плоскости β.
Предположим, что прямая AD параллельна плоскости α ($AD \parallel \alpha$).
По условию задачи, отрезок CD параллелен плоскости α ($CD \parallel \alpha$).
Прямые AD и CD лежат в плоскости β и пересекаются в точке D.
Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости (AD и CD в плоскости β) соответственно параллельны другой плоскости (α), то эти плоскости параллельны. Из нашего предположения следовало бы, что $\beta \parallel \alpha$.
Однако по условию плоскость α проходит через точку B. Точка B также принадлежит плоскости β (так как лежит на прямой AB). Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются. Таким образом, плоскости α и β не могут быть параллельными.
Мы получили противоречие, следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямая AD параллельна плоскости α, неверно.
Поскольку прямая AD не параллельна плоскости α и не лежит в ней (так как точка A не принадлежит α), она по определению пересекает плоскость α в некоторой точке E.
Ответ: Утверждение доказано.

и найдите отрезок BE

1. Как было показано, плоскость (ABD) пересекает плоскость α. Линия пересечения этих двух плоскостей проходит через все их общие точки. Точка B принадлежит обеим плоскостям по условию. Точка E также принадлежит обеим плоскостям по определению (E — точка пересечения AD и α). Следовательно, плоскости (ABD) и α пересекаются по прямой BE.
2. Воспользуемся теоремой: если плоскость (в нашем случае (ABD)) проходит через прямую (CD), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (BE) параллельна данной прямой (CD). Таким образом, мы имеем $BE \parallel CD$.
3. Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$, которые лежат в одной плоскости (ABD). Эти треугольники подобны по двум углам (признак подобия AA):
- $\angle CAD$ (или $\angle EAB$) является общим углом для обоих треугольников.
- $\angle ACD = \angle ABE$ как соответственные углы при параллельных прямых CD и BE и секущей AB.
Следовательно, $\triangle ACD \sim \triangle ABE$.
4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BE} $
5. Найдем соотношение сторон AC и AB. По условию $AB : BC = 4 : 3$. Это означает, что мы можем принять длины отрезков равными $AB = 4x$ и $BC = 3x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$.
Поскольку точка C выбрана на отрезке AB, она лежит между точками A и B. Тогда длина отрезка AC равна разности длин отрезков AB и BC:
$AC = AB - BC = 4x - 3x = x$.
Теперь мы можем найти отношение длин AC и AB:
$ \frac{AC}{AB} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $
6. Подставим полученное отношение и известную длину $CD = 24$ см в нашу пропорцию:
$ \frac{1}{4} = \frac{24}{BE} $
Отсюда выразим BE:
$ BE = 4 \cdot 24 = 96 $ см.
Ответ: 96 см.