Номер 144, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

144. Точки $A, B, C$ — соответственно середины рёбер $FE, GH, GK$ четырёхугольной пирамиды $FGHEK$, в основании которой лежит параллелограмм $GHEK$. Постройте отрезок, по которому плоскость $ABC$ пересекает диагональное сечение $FHK$ пирамиды.

Для решения задачи необходимо выполнить построение линии пересечения плоскости $(ABC)$ и плоскости диагонального сечения $(FHK)$. Линия пересечения двух плоскостей — это прямая. Нам нужно найти отрезок этой прямой, находящийся внутри треугольника $FHK$.

Шаг 1. Определение направления линии пересечения.

Сначала определим направление искомой линии пересечения. Для этого рассмотрим, как плоскости $(ABC)$ и $(FHK)$ пересекаются с плоскостью основания пирамиды $(GHEK)$.

• Плоскость $(ABC)$ содержит отрезок $BC$. Так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости основания, то вся прямая $BC$ является линией пересечения плоскости $(ABC)$ с плоскостью основания $(GHEK)$.
• Плоскость $(FHK)$ содержит диагональ основания $HK$. Прямая $HK$ является линией пересечения плоскости $(FHK)$ с плоскостью основания $(GHEK)$.

Рассмотрим треугольник $GHK$ в плоскости основания. По условию, точка $B$ — середина ребра $GH$, а точка $C$ — середина ребра $GK$. Следовательно, отрезок $BC$ является средней линией треугольника $GHK$. По свойству средней линии, отрезок $BC$ параллелен стороне $HK$, то есть $BC \parallel HK$.

Поскольку плоскость $(ABC)$ проходит через прямую $BC$, а плоскость $(FHK)$ проходит через параллельную ей прямую $HK$, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна обеим этим прямым. Обозначим искомую линию пересечения как $l$, тогда $l \parallel BC \parallel HK$.

Шаг 2. Построение точки на линии пересечения.

Теперь, зная направление линии пересечения $l$, нам достаточно найти хотя бы одну точку, принадлежащую этой линии. Для этого воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

1. Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через грань $(FEK)$. Эта плоскость содержит ребро $FE$ (и, следовательно, точку $A$) и ребро $EK$.
2. Найдем линию пересечения плоскости $(ABC)$ и вспомогательной плоскости $(FEK)$.
   • Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям, так как $A$ — точка плоскости $(ABC)$ и $A$ лежит на ребре $FE$, которое принадлежит плоскости $(FEK)$.
   • Чтобы найти вторую общую точку, найдем пересечение прямой $BC$ (лежащей в плоскости $(ABC)$) с плоскостью $(FEK)$. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания. Плоскость $(FEK)$ пересекает плоскость основания по прямой $EK$. Следовательно, точка пересечения прямой $BC$ с плоскостью $(FEK)$ — это точка пересечения прямых $BC$ и $EK$ в плоскости основания. Обозначим эту точку $Q$. Поскольку $BC \parallel HK$, а $HK$ не параллельна $EK$ (это диагональ и сторона параллелограмма, исходящие из одной вершины $K$), то прямые $BC$ и $EK$ пересекаются.
3. Таким образом, прямая $AQ$ является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(FEK)$.
4. Теперь найдем точку, общую для плоскостей $(ABC)$ и $(FHK)$. Прямая $AQ$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$. Найдем ее точку пересечения с плоскостью $(FHK)$. Плоскость $(FHK)$ пересекает вспомогательную плоскость $(FEK)$ по прямой $FK$. Так как прямая $AQ$ и прямая $FK$ лежат в одной плоскости $(FEK)$, они пересекаются (они не параллельны в общем случае). Обозначим их точку пересечения $P$.

Точка $P$ лежит на прямой $AQ$, значит, она принадлежит плоскости $(ABC)$. Точка $P$ лежит на прямой $FK$, значит, она принадлежит плоскости $(FHK)$. Следовательно, точка $P$ — это точка на искомой линии пересечения $l$.

Шаг 3. Построение искомого отрезка.

Мы знаем, что искомая линия пересечения $l$ проходит через точку $P$ и параллельна $HK$. Искомый отрезок — это часть этой линии, лежащая внутри диагонального сечения $FHK$.

1. В плоскости $(FHK)$ через построенную точку $P$ проводим прямую $l$, параллельную стороне $HK$.
2. Эта прямая пересечет сторону $FH$ треугольника $FHK$ в некоторой точке $M$.
3. Отрезок $MP$ является искомым отрезком пересечения плоскости $(ABC)$ и диагонального сечения $(FHK)$.

Ответ: Искомым является отрезок $MP$. Для его построения необходимо выполнить следующие шаги:

1. В плоскости основания $(GHEK)$ построить точку $Q$ как пересечение прямых $BC$ и $EK$.
2. В плоскости грани $(FEK)$ провести прямую $AQ$.
3. Найти точку $P$ как пересечение прямой $AQ$ и ребра $FK$.
4. В плоскости диагонального сечения $(FHK)$ через точку $P$ провести прямую, параллельную $HK$.
5. Точка пересечения этой прямой с ребром $FH$ будет точкой $M$. Отрезок $MP$ — искомый.