Номер 137, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

137. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $TPQUV$ равны между собой, точки $B, C, D$ — середины рёбер $TP, TV, TU$. Через точку $B$ проведена прямая $p$, параллельная прямой $CD$. Постройте точку $A$ пересечения прямой $p$ с плоскостью $TQU$ и найдите площадь основания пирамиды, учитывая, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $S$.

Построение точки A

В правильной четырёхугольной пирамиде $TPQUV$ все рёбра равны. Это означает, что её основание $PQUV$ — квадрат, а боковые грани — равносторонние треугольники.
Точки $C$ и $D$ являются серединами рёбер $TV$ и $TU$ соответственно. Рассмотрим боковую грань $TUV$. Отрезок $CD$ является средней линией треугольника $TUV$. По свойству средней линии, отрезок $CD$ параллелен стороне $VU$ и равен её половине: $CD \parallel VU$.

По условию, через точку $B$ (середину ребра $TP$) проведена прямая $p$, параллельная прямой $CD$. Так как $p \parallel CD$ и $CD \parallel VU$, то по свойству транзитивности параллельных прямых $p \parallel VU$.

Поскольку $PQUV$ — квадрат, его противоположные стороны $VU$ и $PQ$ параллельны ($VU \parallel PQ$). Следовательно, прямая $p$ также параллельна прямой $PQ$ ($p \parallel PQ$).

Точка $A$ — это точка пересечения прямой $p$ с плоскостью боковой грани $TQU$. Прямая $p$ проходит через точку $B$ (середину $TP$) и параллельна прямой $PQ$. Рассмотрим плоскость другой боковой грани, $TPQ$. Прямая $p$ полностью лежит в этой плоскости, так как она проходит через точку $B$ этой плоскости и параллельна прямой $PQ$, которая также лежит в этой плоскости.

Линией пересечения плоскостей $TPQ$ и $TQU$ является общее ребро $TQ$. Так как прямая $p$ находится в плоскости $TPQ$, то её точка пересечения $A$ с плоскостью $TQU$ должна лежать на линии их пересечения, то есть на ребре $TQ$.

В треугольнике $TPQ$ прямая $p$ проходит через точку $B$ (середину стороны $TP$) параллельно стороне $PQ$. Следовательно, $p$ является средней линией треугольника $TPQ$. По определению средней линии, она соединяет середины двух сторон, а значит, пересекает сторону $TQ$ в её середине.
Таким образом, точка $A$ является серединой ребра $TQ$.

Нахождение площади основания пирамиды

Из условия и выполненного построения следует, что точки $A, B, C, D$ являются серединами боковых рёбер $TQ, TP, TV, TU$ соответственно. Рассмотрим свойства четырёхугольника $ABCD$. Его стороны являются средними линиями соответствующих боковых граней пирамиды:
- $AB$ в $\triangle TPQ \implies AB \parallel PQ$ и $AB = \frac{1}{2}PQ$;
- $BC$ в $\triangle TPV \implies BC \parallel PV$ и $BC = \frac{1}{2}PV$;
- $CD$ в $\triangle TVU \implies CD \parallel VU$ и $CD = \frac{1}{2}VU$;
- $DA$ в $\triangle TUQ \implies DA \parallel UQ$ и $DA = \frac{1}{2}UQ$.

Пусть длина ребра пирамиды равна $a$. Тогда основание $PQUV$ — это квадрат со стороной $a$. Значит, $PQ = PV = VU = UQ = a$.
Длины сторон четырёхугольника $ABCD$ равны между собой: $AB = BC = CD = DA = \frac{a}{2}$. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Чтобы определить вид этого ромба, найдём угол между его смежными сторонами, например, $\angle ABC$. Угол между прямыми $AB$ и $BC$ равен углу между параллельными им прямыми $PQ$ и $PV$. Так как $PQUV$ — квадрат, угол между его смежными сторонами $\angle QPV = 90^\circ$. Значит, $\angle ABC = 90^\circ$.
Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Таким образом, $ABCD$ — это квадрат со стороной $\frac{a}{2}$.

Площадь этого квадрата по условию равна $S$. С другой стороны, площадь квадрата $ABCD$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = (\text{сторона})^2$.
$S = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Площадь основания пирамиды, $S_{PQUV}$, — это площадь квадрата со стороной $a$.
$S_{PQUV} = a^2$.
Из соотношения $S = \frac{a^2}{4}$ выразим $a^2$: $a^2 = 4S$.
Подставив это выражение в формулу для площади основания, получим:
$S_{PQUV} = 4S$.

Ответ: $4S$.