Номер 134, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

134. Учитывая, что точки $N$ и $M$ — середины диагоналей $BC_1$ и $BD$ соответствующих граней прямоугольного параллелепипеда $BCDEB_1C_1D_1E_1$:

a) докажите, что отрезок $MN$ параллелен плоскости, в которой лежит грань $CDD_1C_1$;

б) найдите длину отрезка $MN$, учитывая, что $BE = 6$ см, $EE_1 = 8$ см.

а)

Рассмотрим треугольник $BDC_1$.

Точка $M$ — середина стороны $BD$ (по условию).

Точка $N$ — середина стороны $BC_1$ (по условию).

Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $BDC_1$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $MN \parallel DC_1$.

Прямая $DC_1$ лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$, так как точки $D$ и $C_1$ принадлежат этой плоскости.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Так как $MN \parallel DC_1$ и $DC_1 \subset (CDD_1)$, то $MN \parallel (CDD_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Из пункта а) мы знаем, что $MN$ — средняя линия треугольника $BDC_1$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины третьей стороны треугольника:

$MN = \frac{1}{2}DC_1$

Чтобы найти длину $MN$, нам нужно найти длину диагонали $DC_1$ грани $CDD_1C_1$.

Так как $BCDEB_1C_1D_1E_1$ — прямоугольный параллелепипед, то его грань $CDD_1C_1$ является прямоугольником. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCC_1$ (угол $\angle DCC_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2$

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны. Основание $BCDE$ является прямоугольником, поэтому $DC = BE$. Боковые ребра также равны, поэтому $CC_1 = EE_1$.

По условию задачи, $BE = 6$ см и $EE_1 = 8$ см. Следовательно:

$DC = 6$ см

$CC_1 = 8$ см

Подставим эти значения в формулу для нахождения $DC_1$:

$DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем длину отрезка $MN$:

$MN = \frac{1}{2}DC_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.