Номер 127, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

127. Учитывая, что точки $Q, H, G$ — середины диагоналей $SE_1, S_1R_1, R_1T$ соответствующих граней куба $SERTS_1E_1R_1T_1$ (рис. 175):

а) установите, параллельна ли прямая $QH$ плоскости $SS_1T_1$;

б) докажите, что прямая $HG$ параллельна плоскости $E_1ER$.

Рис. 175

а) установите, параллельна ли прямая QH плоскости SS₁T₁;
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина куба $S$ совпадает с началом координат, а ребра $ST$, $SE$ и $SS_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.
В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$S(0, 0, 0)$, $E_1(0, a, a)$, $S_1(0, 0, a)$, $R_1(a, a, a)$, $T_1(a, 0, a)$.
Точка $Q$ является серединой диагонали $SE_1$ грани $SEE_1S_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат концов отрезка:
$Q = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.
Точка $H$ является серединой диагонали $S_1R_1$ верхней грани куба $S_1E_1R_1T_1$. Найдем ее координаты:
$H = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.
Теперь найдем координаты направляющего вектора прямой $QH$:
$\vec{QH} = \left(\frac{a}{2}-0, \frac{a}{2}-\frac{a}{2}, a-\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right)$.
Плоскость $SS_1T_1$ — это координатная плоскость $y=0$. Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор параллелен какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, а сама прямая в плоскости не лежит.
Рассмотрим прямую $ST_1$, которая лежит в плоскости $SS_1T_1$ (так как точки $S$ и $T_1$ лежат в ней). Найдем ее направляющий вектор:
$\vec{ST_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$.
Сравним векторы $\vec{QH}$ и $\vec{ST_1}$:
$\vec{QH} = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2}(a, 0, a) = \frac{1}{2}\vec{ST_1}$.
Так как вектор $\vec{QH}$ является произведением вектора $\vec{ST_1}$ на число $\frac{1}{2}$, векторы коллинеарны, а значит, прямые $QH$ и $ST_1$ параллельны ($QH \parallel ST_1$).
Чтобы убедиться, что прямая $QH$ не лежит в плоскости $SS_1T_1$, проверим, принадлежит ли ей точка $Q$. Координата $y$ точки $Q$ равна $\frac{a}{2}$, что не равно нулю. Следовательно, точка $Q$ не лежит в плоскости $SS_1T_1$ ($y=0$).
Поскольку прямая $QH$ параллельна прямой $ST_1$, лежащей в плоскости $SS_1T_1$, и не принадлежит этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $QH$ параллельна плоскости $SS_1T_1$.
Ответ: да, прямая $QH$ параллельна плоскости $SS_1T_1$.

б) докажите, что прямая HG параллельна плоскости E₁ER.
Воспользуемся геометрическим методом.
Рассмотрим треугольник $R_1TS_1$. По условию, точка $H$ — середина стороны $S_1R_1$, а точка $G$ — середина стороны $R_1T$. Следовательно, отрезок $HG$ является средней линией этого треугольника.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом, $HG \parallel S_1T$.
Теперь докажем, что прямая $S_1T$ параллельна плоскости $E_1ER$. Для этого нужно показать, что в плоскости $E_1ER$ существует прямая, параллельная $S_1T$.
Рассмотрим четырехугольник $S_1TRE_1$. В кубе ребра $S_1E_1$ и $TR$ параллельны и равны, так как оба они параллельны и равны ребру $SE$:
$S_1E_1 \parallel SE$ и $TR \parallel SE \Rightarrow S_1E_1 \parallel TR$.
$|S_1E_1| = |SE|$ и $|TR| = |SE| \Rightarrow |S_1E_1| = |TR|$.
Поскольку в четырехугольнике $S_1TRE_1$ две противоположные стороны $S_1E_1$ и $TR$ параллельны и равны, этот четырехугольник является параллелограммом.
Из свойства параллелограмма следует, что две другие его стороны, $S_1T$ и $E_1R$, также параллельны: $S_1T \parallel E_1R$.
Прямая $E_1R$ лежит в плоскости $E_1ER$, так как обе точки $E_1$ и $R$ являются вершинами грани $E_1ERR_1$, которая и образует данную плоскость.
Таким образом, мы установили следующую цепочку параллельностей: $HG \parallel S_1T$ и $S_1T \parallel E_1R$. По свойству транзитивности, отсюда следует, что $HG \parallel E_1R$.
Прямая $HG$ не лежит в плоскости $E_1ER$. Например, точка $H$ является серединой отрезка $S_1R_1$. Точка $R_1$ лежит в плоскости $E_1ER$, а точка $S_1$ — нет. Следовательно, их середина $H$ также не лежит в этой плоскости.
Поскольку прямая $HG$ параллельна прямой $E_1R$, лежащей в плоскости $E_1ER$, и сама в этой плоскости не лежит, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $HG$ параллельна плоскости $E_1ER$.
Ответ: доказано, что прямая $HG$ параллельна плоскости $E_1ER$.