Номер 1, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости формулируется в виде следующей теоремы.

Формулировка теоремы: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство теоремы

Дано:
- Прямая $a$ и плоскость $\alpha$.
- Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).
- Существует прямая $b$, такая что она лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
- Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Доказать:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Доказательство:
Воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$. По определению, это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку. Назовем ее $M$.

Так как прямые $a$ и $b$ по условию параллельны, через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ лежат в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$, $b \subset \beta$).

Теперь рассмотрим взаиморасположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Прямая $b$ лежит в обеих этих плоскостях ($b \subset \alpha$ по условию, и $b \subset \beta$ по построению). Следовательно, прямая $b$ является линией их пересечения: $b = \alpha \cap \beta$.

Вернемся к точке $M$. По нашему предположению, точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$) и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Так как прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\beta$, то и точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

Таким образом, точка $M$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. А так как все общие точки этих плоскостей лежат на линии их пересечения, прямой $b$, то точка $M$ должна принадлежать прямой $b$ ($M \in b$).

Из этого следует, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $a \parallel b$.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\alpha$, а значит, она ей параллельна. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.