Номер 4, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Треугольники $ABC$ и $ABD$ лежат в разных плоскостях (рис. 169). Верно ли, что любая прямая, параллельная прямой $CD$, пересекает эти плоскости?

Рис. 169

Для ответа на этот вопрос рассмотрим взаимное расположение прямой $CD$ и плоскостей $(ABC)$ и $(ABD)$.

1. Рассмотрим плоскость $(ABC)$. По условию, треугольник $ABC$ лежит в этой плоскости. Это означает, что все три его вершины $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскости $(ABC)$. Точка $D$ не принадлежит плоскости $(ABC)$, так как по условию треугольники $ABC$ и $ABD$ лежат в разных плоскостях. Если бы точка $D$ принадлежала плоскости $(ABC)$, то и весь треугольник $ABD$ лежал бы в этой же плоскости (через три точки $A, B, D$ проходит единственная плоскость), что противоречит условию.

Таким образом, прямая $CD$ проходит через точку $C$, которая лежит в плоскости $(ABC)$, и точку $D$, которая не лежит в этой плоскости. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если прямая проходит через точку, принадлежащую плоскости, и точку, не принадлежащую ей, то эта прямая пересекает данную плоскость. В нашем случае прямая $CD$ пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $C$.

2. Рассмотрим плоскость $(ABD)$. Аналогично, точка $D$ принадлежит плоскости $(ABD)$, а точка $C$ не принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $CD$ пересекает плоскость $(ABD)$ в точке $D$.

3. Рассмотрим прямую, параллельную $CD$. Пусть прямая $a$ параллельна прямой $CD$ ($a \parallel CD$). В стереометрии существует теорема (или лемма): если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

• Поскольку прямая $CD$ пересекает плоскость $(ABC)$, то и любая параллельная ей прямая $a$ также пересекает плоскость $(ABC)$.
• Поскольку прямая $CD$ пересекает плоскость $(ABD)$, то и любая параллельная ей прямая $a$ также пересекает плоскость $(ABD)$.

Таким образом, любая прямая, параллельная прямой $CD$, пересекает обе плоскости: и плоскость $(ABC)$, и плоскость $(ABD)$.

Ответ: да, верно.