Номер 126, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

126*. Точки $P, Q, R, S$ — середины рёбер $AB, BB_1, AD$ и диагонали $B_1D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит квадрат со стороной $1$ м, а боковое ребро равно $7$ м (рис. 162). Определите, во сколько раз сторона $PQ$ четырёхугольника $PQSR$ больше его стороны $QS$.

Рис. 162

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат, точка $A$, находится в $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Так как в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной 1 м, а боковое ребро равно 7 м, то координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(1; 0; 0)$
• $D(0; 1; 0)$
• $B_1(1; 0; 7)$

Нахождение координат точек P, Q, S

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов по формуле $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

• Точка $P$ — середина ребра $AB$. Концы отрезка: $A(0; 0; 0)$ и $B(1; 0; 0)$.
  Координаты точки $P$: $(\frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0.5; 0; 0)$.
• Точка $Q$ — середина ребра $BB_1$. Концы отрезка: $B(1; 0; 0)$ и $B_1(1; 0; 7)$.
  Координаты точки $Q$: $(\frac{1+1}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+7}{2}) = (1; 0; 3.5)$.
• Точка $S$ — середина диагонали $B_1D$. Концы отрезка: $B_1(1; 0; 7)$ и $D(0; 1; 0)$.
  Координаты точки $S$: $(\frac{1+0}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{7+0}{2}) = (0.5; 0.5; 3.5)$.

Вычисление длин сторон PQ и QS

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Найдем длину стороны $PQ$, зная координаты точек $P(0.5; 0; 0)$ и $Q(1; 0; 3.5)$:

$PQ = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-0)^2 + (3.5-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 3.5^2} = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5}$.

Найдем длину стороны $QS$, зная координаты точек $Q(1; 0; 3.5)$ и $S(0.5; 0.5; 3.5)$:

$QS = \sqrt{(0.5-1)^2 + (0.5-0)^2 + (3.5-3.5)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5}$.

Нахождение отношения длин сторон

Чтобы определить, во сколько раз сторона $PQ$ больше стороны $QS$, вычислим их отношение:

$\frac{PQ}{QS} = \frac{\sqrt{12.5}}{\sqrt{0.5}} = \sqrt{\frac{12.5}{0.5}} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, сторона $PQ$ в 5 раз больше стороны $QS$.

Ответ: 5.