Номер 119, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

119. Через точку $M$ вне прямой $a$ проведены две прямые, не имеющие с прямой $a$ общих точек. Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая $a$ являются скрещивающимися.

Пусть даны прямая a и точка M, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Через точку M проведены две различные прямые, назовем их b и c. По условию, эти прямые не имеют общих точек с прямой a, то есть они не пересекают прямую a ($b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$).

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что ни одна из прямых, b или c, не является скрещивающейся с прямой a.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве может быть одним из трех: они пересекаются, они параллельны или они скрещиваются.

Рассмотрим прямую b и прямую a. По условию задачи, они не пересекаются. По нашему предположению, они не скрещиваются. Следовательно, для них остается только одна возможность — они должны быть параллельны ($b \parallel a$).

Аналогично, рассмотрим прямую c и прямую a. Они не пересекаются по условию и не скрещиваются по нашему предположению. Значит, они также должны быть параллельны ($c \parallel a$).

Таким образом, мы получили, что через точку M проходят две различные прямые b и c, и обе эти прямые параллельны одной и той же прямой a.

Это вступает в противоречие с аксиомой параллельных прямых (и ее следствием в стереометрии), которая утверждает, что через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, верно исходное утверждение: хотя бы одна из прямых, b или c, скрещивается с прямой a.

Ответ: Утверждение доказано. Что и требовалось доказать.