Номер 115, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

115. Через точку пересечения медиан грани $MNK$ треугольной пирамиды $JMNK$ с равными друг другу рёбрами проведена прямая $b$, параллельная прямой $MJ$, а на ребре $MJ$ отмечена его середина $Z$. Найдите площадь треугольника $NZJ$, учитывая, что отрезок прямой $b$, расположенный внутри пирамиды, равен $m$.

По условию, пирамида JMNK имеет равные друг другу рёбра, следовательно, это правильный тетраэдр. Все его грани являются равносторонними треугольниками. Обозначим длину ребра тетраэдра через $a$.

Найдём площадь треугольника NZJ. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними. Для треугольника NZJ возьмём стороны NJ и JZ и угол между ними $\angle NJZ$.

• Сторона NJ является ребром тетраэдра, поэтому её длина $NJ = a$.
• Точка Z по условию является серединой ребра MJ. Значит, $JZ = \frac{1}{2}MJ = \frac{a}{2}$.
• Угол $\angle NJZ$ совпадает с углом $\angle NJM$, который является углом при вершине равностороннего треугольника JMN. Следовательно, $\angle NJZ = 60^\circ$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника NZJ:

$S_{NZJ} = \frac{1}{2} \cdot NJ \cdot JZ \cdot \sin(\angle NJZ) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.

Чтобы найти значение площади, необходимо выразить длину ребра $a$ через данную в условии величину $m$. По условию, отрезок прямой $b$, расположенный внутри пирамиды, равен $m$. Прямая $b$ проходит через точку пересечения медиан (центроид) грани MNK, которую обозначим как O, и параллельна ребру MJ.

Воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину J. Тогда радиус-вектор центроида O треугольника MNK выражается как $\vec{JO} = \frac{1}{3}(\vec{JM} + \vec{JN} + \vec{JK})$. Прямая $b$ проходит через точку O и параллельна вектору $\vec{MJ}$. Параметрическое уравнение прямой $b$ имеет вид $\vec{r}(t) = \vec{JO} + t \cdot \vec{MJ}$. Так как $\vec{MJ} = -\vec{JM}$, уравнение можно записать как:

$\vec{r}(t) = \vec{JO} - t \cdot \vec{JM} = \frac{1}{3}(\vec{JM} + \vec{JN} + \vec{JK}) - t \cdot \vec{JM} = (\frac{1}{3} - t)\vec{JM} + \frac{1}{3}\vec{JN} + \frac{1}{3}\vec{JK}$.

Отрезок прямой $b$ внутри пирамиды ограничен её гранями. Поскольку прямая $b$ параллельна ребру MJ, она параллельна и плоскостям граней JMN и JMK, в которых это ребро лежит. Следовательно, отрезок прямой $b$ заключён между двумя другими гранями: MNK и JNK.

Одна из конечных точек отрезка — это точка O, так как она лежит на прямой $b$ и в плоскости грани MNK. В нашем уравнении точка O соответствует значению параметра $t=0$.

Другая конечная точка отрезка, назовем её Q, лежит на грани JNK. Точка лежит в плоскости JNK, если её радиус-вектор является линейной комбинацией векторов $\vec{JN}$ и $\vec{JK}$. Для этого в уравнении $\vec{r}(t)$ коэффициент при векторе $\vec{JM}$ должен быть равен нулю:

$\frac{1}{3} - t = 0 \implies t = \frac{1}{3}$.

Таким образом, точка Q соответствует параметру $t=1/3$. Длина отрезка $m$ равна длине отрезка OQ. Вектор $\vec{OQ}$ равен разности векторов положения точек Q и O:

$\vec{OQ} = \vec{r}(\frac{1}{3}) - \vec{r}(0) = (\vec{JO} - \frac{1}{3}\vec{JM}) - \vec{JO} = -\frac{1}{3}\vec{JM} = \frac{1}{3}\vec{MJ}$.

Длина этого вектора:

$m = |\vec{OQ}| = |\frac{1}{3}\vec{MJ}| = \frac{1}{3}|\vec{MJ}| = \frac{1}{3}a$.

Отсюда находим связь между $a$ и $m$: $a = 3m$.

Наконец, подставляем это выражение для $a$ в формулу площади треугольника NZJ:

$S_{NZJ} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{(3m)^2\sqrt{3}}{8} = \frac{9m^2\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{9m^2\sqrt{3}}{8}$