Номер 111, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

111. Точки $H, G, F, S$ — середины рёбер $MN, ML, LK, KN$ треугольной пирамиды $MKLN$ (рис. 160). Найдите периметр четырёхугольника $HGFS$, учитывая, что $LN = 18 \text{ мм}$, $MK = 22 \text{ мм}$.

Рис. 160

По условию задачи дано, что точки $H, G, F, S$ являются серединами рёбер $MN, ML, LK, KN$ треугольной пирамиды $MKLN$. Необходимо найти периметр четырёхугольника $HGFS$.

Периметр четырёхугольника $HGFS$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{HGFS} = HG + GF + FS + SH$.

Для нахождения длин сторон четырёхугольника $HGFS$ воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим грань пирамиды — треугольник $MNL$. Отрезок $HG$ соединяет середины сторон $MN$ и $ML$. Следовательно, $HG$ является средней линией треугольника $MNL$. Поэтому её длина равна половине длины стороны $LN$:
$HG = \frac{1}{2} LN$.

2. Рассмотрим грань $MLK$. Отрезок $GF$ соединяет середины сторон $ML$ и $LK$. Следовательно, $GF$ является средней линией треугольника $MLK$. Поэтому её длина равна половине длины стороны $MK$:
$GF = \frac{1}{2} MK$.

3. Рассмотрим грань $LKN$. Отрезок $FS$ соединяет середины сторон $LK$ и $KN$. Следовательно, $FS$ является средней линией треугольника $LKN$. Поэтому её длина равна половине длины стороны $LN$:
$FS = \frac{1}{2} LN$.

4. Рассмотрим грань $KMN$. Отрезок $SH$ соединяет середины сторон $KN$ и $MN$. Следовательно, $SH$ является средней линией треугольника $KMN$. Поэтому её длина равна половине длины стороны $MK$:
$SH = \frac{1}{2} MK$.

Теперь подставим найденные выражения для длин сторон в формулу периметра:
$P_{HGFS} = \frac{1}{2} LN + \frac{1}{2} MK + \frac{1}{2} LN + \frac{1}{2} MK$.

Сгруппируем слагаемые и упростим выражение:
$P_{HGFS} = (\frac{1}{2} LN + \frac{1}{2} LN) + (\frac{1}{2} MK + \frac{1}{2} MK) = LN + MK$.

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи: $LN = 18$ мм и $MK = 22$ мм.
$P_{HGFS} = 18 + 22 = 40$ мм.

Ответ: 40 мм.