Номер 106, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

106. Конец D отрезка DF принадлежит плоскости $\alpha$, через другой его конец F и его точку G проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $F_1$ и $G_1$ (рис. 158). Найдите длину отрезка $GG_1$, учитывая, что $FF_1 = 32$ см и $DG : GF = 3 : 5$.

Рис. 158

Рис. 158

По условию задачи прямые $FF_1$ и $GG_1$ параллельны. Две параллельные прямые определяют единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Так как точки $F$ и $G$ лежат на отрезке $DF$, то вся прямая $DF$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Точки $D$, $G_1$ и $F_1$ лежат в плоскости $\alpha$ по условию. Точки $D$, $G$, $F$, $G_1$ и $F_1$ лежат в плоскости $\beta$. Следовательно, точки $D$, $G_1$ и $F_1$, принадлежащие обеим плоскостям, лежат на линии их пересечения, то есть на одной прямой.

Таким образом, мы можем рассмотреть фигуру в плоскости $\beta$. Эта фигура состоит из треугольника $DFF_1$ и отрезка $GG_1$, где $G$ лежит на стороне $DF$, а $G_1$ — на стороне $DF_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DGG_1$ и $\triangle DFF_1$:

• $\angle FDF_1$ — общий угол.
• $\angle DGG_1 = \angle DFF_1$ как соответственные углы при параллельных прямых $GG_1 \parallel FF_1$ и секущей $DF$.

Следовательно, треугольники $\triangle DGG_1$ и $\triangle DFF_1$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{DG}{DF} = \frac{GG_1}{FF_1}$

По условию дано отношение $DG : GF = 3 : 5$. Пусть $DG = 3k$, тогда $GF = 5k$ для некоторого коэффициента $k > 0$.

Найдем длину всего отрезка $DF$:

$DF = DG + GF = 3k + 5k = 8k$.

Теперь найдем отношение длин отрезков $DG$ и $DF$:

$\frac{DG}{DF} = \frac{3k}{8k} = \frac{3}{8}$

Подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников. Длина $FF_1 = 32$ см.

$\frac{GG_1}{32} = \frac{3}{8}$

Выразим и вычислим длину отрезка $GG_1$:

$GG_1 = \frac{3 \cdot 32}{8} = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: 12 см.