Номер 102, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

102. Есть правильная четырёхугольная пирамида $PMNKL$. На прямой $PL$ выбрана точка $D$, через которую проведена прямая $l$, параллельная прямой $LK$. Определите взаимное расположение прямых $MN$ и $l$.

По условию, пирамида $PMNKL$ является правильной четырёхугольной пирамидой. Это означает, что в её основании лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат $MNKL$.

В квадрате противолежащие стороны параллельны. Следовательно, прямая $MN$ параллельна прямой $LK$. Запишем это как $MN \parallel LK$.

Также по условию задачи, через точку $D$, принадлежащую прямой $PL$, проведена прямая $l$, параллельная прямой $LK$. Запишем это как $l \parallel LK$.

Таким образом, мы имеем два соотношения: $MN \parallel LK$ и $l \parallel LK$. Согласно теореме о параллельности трёх прямых в пространстве (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), мы можем сделать вывод, что прямая $MN$ параллельна прямой $l$. То есть, $MN \parallel l$.

Теперь необходимо выяснить, не являются ли эти прямые совпадающими. Прямая $MN$ полностью лежит в плоскости основания пирамиды $(MNK)$. Прямая $l$ проходит через точку $D$, которая принадлежит боковому ребру $PL$.

Поскольку пирамида является правильной, она не вырождена, и её вершина $P$ не лежит в плоскости основания. Это означает, что прямая $PL$ пересекает плоскость основания $(MNK)$ только в одной точке — $L$.

• Если точка $D$ не совпадает с точкой $L$, то она не лежит в плоскости основания $(MNK)$. Прямая $l$, проходящая через точку $D$, не может лежать в плоскости основания и, следовательно, не может совпадать с прямой $MN$.
• Если точка $D$ совпадает с точкой $L$, то прямая $l$ проходит через точку $L$ и параллельна прямой $LK$. В этом случае прямая $l$ совпадает с прямой $LK$. Прямые $MN$ и $LK$ являются параллельными, но не совпадающими сторонами квадрата.

В обоих случаях прямые $MN$ и $l$ являются различными.

Так как прямые $MN$ и $l$ параллельны и не совпадают, их взаимное расположение — параллельность.

Ответ: прямые $MN$ и $l$ параллельны.