Номер 104, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

104. $LKM L_1K_1M_1$ — правильная треугольная призма, длина каждого ребра которой равна 2 м. Диагонали граней $LL_1M_1M$ и $MM_1K_1K$ пересекаются соответственно в точках $X$ и $Y$ (рис. 157). Найдите периметр четырёхугольника $XLKY$.

Рис. 157

По условию, $LKML_1K_1M_1$ — правильная треугольная призма, у которой длина каждого ребра равна 2 м. Это означает, что её основания, $\triangle LKM$ и $\triangle L_1K_1M_1$, являются равносторонними треугольниками со стороной 2 м, а боковые грани ($LL_1M_1M$, $MM_1K_1K$ и $KK_1L_1L$) — квадратами со стороной 2 м.

Периметр четырёхугольника $XLKY$ вычисляется как сумма длин его сторон: $P_{XLKY} = XL + LK + KY + YX$. Найдём длину каждой стороны по отдельности.

Длина стороны LK
Сторона $LK$ является ребром основания призмы. Согласно условию, её длина равна 2 м.

Длина стороны XL
Точка $X$ — это точка пересечения диагоналей грани $LL_1M_1M$. Эта грань представляет собой квадрат со стороной 2 м. Диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам. Найдём длину диагонали $L_1M$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $L_1LM$ (угол $\angle L_1LM = 90^\circ$):
$L_1M = \sqrt{LL_1^2 + LM^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ м.
Точка $X$ является центром квадрата, а точка $L$ — его вершиной. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине длины диагонали. Таким образом:
$XL = \frac{1}{2} L_1M = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ м.

Длина стороны KY
Аналогично, точка $Y$ — это точка пересечения диагоналей квадрата $MM_1K_1K$. Расстояние от вершины $K$ до центра $Y$ также равно половине длины диагонали этого квадрата. Так как боковые грани являются равными квадратами, их диагонали равны.
$KY = \sqrt{2}$ м.

Длина стороны YX
Отрезок $YX$ соединяет центры смежных боковых граней $LL_1M_1M$ и $MM_1K_1K$. Проекция точки $X$ на плоскость основания $LKM$ является серединой ребра $LM$. Проекция точки $Y$ на ту же плоскость является серединой ребра $MK$. Отрезок, соединяющий эти проекции, — это средняя линия треугольника $LKM$, параллельная стороне $LK$.
Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Так как отрезок $YX$ параллелен плоскости основания, его длина равна длине его проекции.
$YX = \frac{1}{2} LK = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ м.

Периметр четырёхугольника XLKY
Теперь, когда все стороны найдены, мы можем вычислить периметр:
$P_{XLKY} = XL + LK + KY + YX = \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$ м.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$ м.