Номер 13, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Используя рисунок 148, на котором дан куб $LKM NL_1 K_1 M_1 N_1$, назовите скрещивающиеся прямые.

Рис. 148

Скрещивающимися прямыми в пространстве называются такие две прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными. Основной признак скрещивающихся прямых заключается в том, что они не лежат в одной плоскости.

В кубе $LKMNL_1K_1M_1N_1$ можно указать множество пар скрещивающихся прямых. Для их нахождения можно использовать следующий признак: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые скрещиваются.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Ребро нижнего основания и боковое ребро.Возьмем прямую $LK$ и прямую $M_1M$. Прямая $LK$ лежит в плоскости нижнего основания $(LKNM)$. Прямая $M_1M$ пересекает эту плоскость в точке $M$, которая не лежит на прямой $LK$. Следовательно, прямые $LK$ и $M_1M$ скрещиваются.

2. Боковое ребро и диагональ основания.Возьмем прямую $KK_1$ и диагональ $LN$. Прямая $LN$ лежит в плоскости нижнего основания $(LKNM)$. Прямая $KK_1$ пересекает эту плоскость в точке $K$, которая не лежит на прямой $LN$. Следовательно, прямые $KK_1$ и $LN$ скрещиваются.

3. Диагонали оснований.Возьмем диагональ нижнего основания $KM$ и диагональ верхнего основания $L_1N_1$. Эти прямые лежат в параллельных плоскостях $(LKNM)$ и $(L_1K_1N_1M_1)$. При этом они не параллельны друг другу. Значит, прямые $KM$ и $L_1N_1$ скрещиваются.

4. Пространственная диагональ куба и ребро.Возьмем пространственную диагональ $K_1M$ и ребро $NN_1$. Эти прямые не имеют общих точек и не параллельны, поэтому они являются скрещивающимися.

Ответ: Примерами скрещивающихся прямых в кубе $LKMNL_1K_1M_1N_1$ являются пары: $LK$ и $M_1M$; $KK_1$ и $MN$; $L_1N_1$ и $KM$; $K_1M$ и $LL_1$.