Номер 6, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

Признак скрещивающихся прямых (теорема)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Для полного понимания рассмотрим доказательство этой теоремы.

Дано:
Даны две прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$.
1. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
2. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ ($b \cap \alpha = M$).
3. Точка $M$ не принадлежит прямой $a$ ($M \notin a$).

Доказать:
Прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

Доказательство:

По определению, скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Чтобы доказать, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, нам нужно показать, что они не пересекаются и не параллельны. Воспользуемся методом доказательства от противного.

1. Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.
Если бы они пересекались, то их точка пересечения принадлежала бы обеим прямым. Обозначим эту точку $K$. Так как прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $K$ также лежала бы в плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $K$ была бы точкой пересечения прямой $b$ с плоскостью $\alpha$. Но по условию, единственная точка пересечения прямой $b$ с плоскостью $\alpha$ – это точка $M$. Следовательно, $K$ и $M$ должны совпадать ($K=M$). Это означает, что точка $M$ лежит на прямой $a$. Однако это противоречит условию теоремы ($M \notin a$). Значит, наше первоначальное предположение было неверным, и прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

2. Предположим, что прямые $a$ и $b$ параллельны.
Если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), и при этом прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ должна быть либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежать в плоскости $\alpha$. Оба варианта противоречат условию теоремы, в котором сказано, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельны.

Так как прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не параллельны, они не лежат в одной плоскости, а значит, являются скрещивающимися. Теорема доказана.

Ответ: Признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых ($a$) лежит в плоскости ($\alpha$), а другая прямая ($b$) пересекает эту плоскость в точке ($M$), которая не лежит на первой прямой ($M \notin a$), то такие прямые ($a$ и $b$) являются скрещивающимися.