Номер 4, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

одна пересекает данную плоскость.

4. Сформулируйте утверждение о прямых, параллельных некоторой прямой.

Утверждение о прямых, параллельных некоторой прямой, является фундаментальной теоремой планиметрии и выражает свойство транзитивности отношения параллельности.

Формулировка утверждения (теоремы):
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Иными словами, если прямая $a$ параллельна прямой $c$ и прямая $b$ также параллельна прямой $c$, то из этого следует, что прямая $a$ параллельна прямой $b$.
В символической записи: если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$.

Развернутое доказательство:

Для доказательства этой теоремы используется метод от противного, опирающийся на аксиому параллельных прямых.

Пусть даны три прямые $a$, $b$ и $c$, для которых выполняются условия: $a \parallel c$ и $b \parallel c$.
Нам необходимо доказать, что $a \parallel b$.

Предположим обратное: пусть прямые $a$ и $b$ не параллельны. По определению непараллельных прямых на плоскости, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку $M$.

Таким образом, мы имеем ситуацию, когда через одну точку $M$ проходят две разные прямые, $a$ и $b$, и обе они, по условию, параллельны третьей прямой $c$.

Это утверждение вступает в противоречие с аксиомой параллельности Евклида, которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. (Точка $M$ не может лежать на прямой $c$, иначе прямые $a$ и $b$ пересекали бы $c$, что противоречит условию).

Поскольку наше допущение (что прямые $a$ и $b$ пересекаются) привело к логическому противоречию с фундаментальной аксиомой геометрии, это допущение неверно.

Следовательно, единственно возможный вывод — прямые $a$ и $b$ не пересекаются. А прямые на плоскости, которые не пересекаются, по определению являются параллельными.
Значит, $a \parallel b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.