Номер 10, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Точки $M, N, P$ — соответственно середины рёбер $HE, HF, HG$ треугольной пирамиды $EFGH$ (рис. 145), а точка $K$ лежит на отрезке $FN$. Определите взаимное расположение прямых:

а) $PK$ и $FG$;

б) $MP$ и $EG$;

в) $NH$ и $EF$.

а) PK и FG

Рассмотрим плоскость основания пирамиды (FGH). 1. Точки F и G по определению лежат в плоскости (FGH), следовательно, прямая FG целиком лежит в этой плоскости. 2. Точка P является серединой ребра HG, поэтому P лежит на отрезке HG, а значит, и в плоскости (FGH). 3. Точка N является серединой ребра HF, поэтому N лежит на отрезке HF, а значит, и в плоскости (FGH). 4. Поскольку точки F и N лежат в плоскости (FGH), то и весь отрезок FN (и вся прямая FN) лежит в этой плоскости. 5. По условию, точка K лежит на отрезке FN, следовательно, точка K также лежит в плоскости (FGH). 6. Так как обе точки P и K лежат в плоскости (FGH), то и вся прямая PK лежит в этой же плоскости.

Таким образом, прямые PK и FG лежат в одной плоскости (FGH), то есть они либо пересекаются, либо параллельны.

В треугольнике FGH отрезок NP является средней линией, так как N и P — середины сторон HF и HG соответственно. По свойству средней линии, $NP \parallel FG$. Прямая, проходящая через точку P параллельно прямой FG, единственна — это прямая NP. Прямая PK проходит через точку P. Если точка K не совпадает с точкой N, то прямая PK не совпадает с прямой NP. Следовательно, прямая PK не будет параллельна прямой FG. Так как прямые PK и FG лежат в одной плоскости и не параллельны (в общем случае), они пересекаются.

Ответ: пересекающиеся.

б) MP и EG

Рассмотрим грань EHG. Эта грань является треугольником $\triangle EHG$. По условию, точка M — середина ребра HE, а точка P — середина ребра HG. Следовательно, отрезок MP является средней линией треугольника EHG. По теореме о средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. В данном случае, сторона MP параллельна стороне EG. Значит, прямые MP и EG параллельны.

Ответ: параллельные.

в) NH и EF

Рассмотрим грань EFH. Эта грань является треугольником $\triangle EFH$. По условию, точка N — середина ребра HF. Это означает, что точка N лежит на прямой, содержащей отрезок HF. Прямая NH проходит через точки N и H. Так как N лежит на прямой HF, то прямая NH и прямая HF — это одна и та же прямая. Прямые HF и EF являются двумя сторонами (рёбрами) треугольника EFH, которые выходят из одной вершины F. Следовательно, прямые HF и EF пересекаются в точке F. Поскольку прямая NH совпадает с прямой HF, то прямая NH пересекает прямую EF.

Ответ: пересекающиеся.